Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΡ‹, курсовыС, Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅...
Брочная ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² ΡƒΡ‡Ρ‘Π±Π΅

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

КомплСксная функция X (z) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° лишь для Ρ‚Π΅Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ z=reJV, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ряд сходится. УсловиСм сходимости ряда (7.2) являСтся. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π”Π°Π½Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция Ρ… (ΠΏ)=Π΅ -1 (ΠΏ) (Π°- Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число). Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ z -прСобразования запишСм. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π”Π°Π½Π° ступСнчатая функция Ρ… (ΠΏ)=А- 1(я). Π’ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (7.2) ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

— ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прСобразования Лапласа для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° дискрСтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прСобразования Лапласа ΠΊ Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Π°-Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 8(0 Π΄Π°Π΅Ρ‚.

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

Богласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ смСщСния ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Π›Π°ΠΏΠ»Π°ΡΡƒ Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Π°Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, сдвинутой Π½Π° ΠΏΠ’, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ.

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

НайдСм ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ дискрСтной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ…*(Π³):

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

Π­Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ опрСдСляСт ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ дискрСтным ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Лапласа (D-ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ). Π’ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄ΠΈΡΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа пСрСмСнная 5 Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ e~Ts. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· дискрСтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ 5 Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ.

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа являСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ eTs. Использовав подстановку.

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (7.1) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

Ѐункция X (z) прСдставляСт ΡƒΠΆΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ z . Она опрСдСляСт собой прямоС z -ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠΌ прСобразования Лапласа ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊ Π΄ΠΈΡΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ функциям Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ прямоС zΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся z -ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ дискрСтной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

D -ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ z -ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ эквивалСнтны. Однако ΠΏΡ€ΠΈ использовании z -прСобразования Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· дискрСтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π΅Π½ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, прСимущСством zпрСобразования являСтся Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ прСобразования.

КомплСксная функция X (z) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° лишь для Ρ‚Π΅Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ z=reJV, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ряд сходится. УсловиСм сходимости ряда (7.2) являСтся ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ z, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ряд (7.2) сходится, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ сходимости. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ сходимости опрСдСляСтся радиусом сходимости R . Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° R зависит ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ особых Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (полюсов) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ X (z). Π’ Ρ‚Π°Π±Π». 7.1 ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ z-изобраТСния дискрСтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 7.1.

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ дискрСтных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

x (t), t>0.

x (n), n>0.

X (z)

6(0.

o,, Jl,"=0 8(" )=|o,"*o.

ΠΊΠΎ.

1(«).

1 Z.

l-z" 1 z—1.

e~aTn=dn

1 z.

l-e~aT z~l~z-e~aT

t

Tn

Tz-1

(l-^-1)2

te'a'

rr< —oTn

nTe

Te~aTz~'

(1 -e-V)1

sin bt

sin bTn

(sin67')z" β€˜ l-2(cosbT)z ' +z 2

cos bt

cos b Tn

l-(cosfe7')zβ€˜l l-2(cos67')zβ€˜l +z"2

e^'sinbt

e-aTn sin bTn

e~aT (sin bT) z~' -2e~aT (cosbT)z~' +e-2aT z-2

e~at cos bt

e~aT" cos bTn

l-e'"r(cos bT)z~' -2e~aT (cosbT)z~[ +e~2aTz~2

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π”Π°Π½Π° функция Ρ… (ΠΏ) = А-5(ΠΈ). Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (7.2) Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС содСрТит СдинствСнноС слагаСмоС:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π”Π°Π½Π° ступСнчатая функция Ρ…(ΠΏ)=А- 1(я). Π’ соотвСтствии с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (7.2) ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π”Π°Π½Π° ступСнчатая функция Ρ… (ΠΏ)=А- 1(я). Π’ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствии с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (7.2) ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄.

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° бСсконСчной гСомСтричСской прогрСссии записываСтся Π² ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π”Π°Π½Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция Ρ…(ΠΏ)=Π΅ -1 (ΠΏ) (Π°- Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число). Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ z -прСобразования запишСм.

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π”Π°Π½Π° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция Ρ… (ΠΏ)=Π΅ -1 (ΠΏ) (Π°- Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число). Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ z -прСобразования запишСм.

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ суммы Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² гСомСтричСской прогрСссии с ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, мСньшим Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ.

ДискрСтноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа.

Ряд сходится, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция X (z) являСтся аналитичСской ΠΏΡ€ΠΈ |e~"z_l|e"").

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ