Дискретное преобразование Лапласа

— преобразование

Рассмотрим применение преобразования Лапласа для анализа дискретных функций времени.

Применение преобразования Лапласа к дельта-функции 8(0 дает.

Согласно теореме смещения изображение по Лапласу дельтафункции, сдвинутой на пТ, равно.

Найдем изображение дискретной функции времени х*(г):

Это выражение определяет математическую операцию, называемую дискретным преобразованием Лапласа (D-преобразованием). Видно, что в дискретное преобразование Лапласа переменная 5 входит в виде функции e~^Ts. Следовательно, это преобразование не является рациональной функцией от Поэтому проводить анализ дискретных функций времени в плоскости 5 трудно.

Дискретное преобразование Лапласа является рациональной функцией от e^Ts. Использовав подстановку.

выражение (7.1) можно переписать в виде.

Функция X (z) представляет уже рациональную функцию относительно переменной z . Она определяет собой прямое z -преобразование, являющееся вариантом преобразования Лапласа применительно к дискретным функциям времени. Обозначается прямое zпреобразование.

и называется z -изображением дискретной функции.

D -преобразование и z -преобразование эквивалентны. Однако при использовании z -преобразования анализ дискретных функций во многом подобен анализу непрерывных функций. Кроме того, преимуществом zпреобразования является легкость обратного преобразования.

Комплексная функция X (z) определена лишь для тех значений переменной z=re^JV, при которых ряд сходится. Условием сходимости ряда (7.2) является

Множество значений z, для которых ряд (7.2) сходится, называют областью сходимости. Область сходимости определяется радиусом сходимости R . Величина R зависит от положения особых точек (полюсов) функции X (z). В табл. 7.1 приведены z-изображения дискретных функций.

Таблица 7.1.

Изображения дискретных функций

Пример 1. Дана функция х (п) = А-5(и). Формула (7.2) в этом случае содержит единственное слагаемое:

Пример 2. Дана ступенчатая функция х (п)=А- 1(я). В соответствии с формулой (7.2) изображение этой функции имеет вид.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии записывается в явной форме:

При мер 3. Дана экспоненциальная функция х (п)=е -1 (п) (а- действительное число). Согласно определению z -преобразования запишем.

Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии с показателем, меньшим единицы, получим.

Ряд сходится, то есть функция X (z) является аналитической при |e~"z^_l|e"").