Уравнения движения частицы

Импульс

Координаты и скорость — это кинематические характеристики частицы. Они не отражают свойства частицы как реального физического объекта. Импульс — динамическая характеристика. По определению импульс равен.

где V — скорость частицы; т — некоторое свойство частицы, называемое массой.

Масса — это первичное понятие, не сводимое к другим. Смысл этой величины и способ ее измерения прояснится далее.

При малых скоростях знаменатель в формуле (2.33) близок к единице, и в этом случае Формула (2.34) является определением импульса в так называемой классической, или нерелятивистской (от слова relativity — относительность), механике.

Уравнения движения (законы Ньютона)

В основе динамики лежит ряд утверждений, принимаемых в качестве аксиом.

• 1. Свободная частица в инерциальной системе отсчета движется с постоянной скоростью (первый закон Ньютона). Под свободной частицей понимается частица, никак не взаимодействующая с другими телами.
• 2. При наличии взаимодействия имеет место уравнение

где р — импульс частицы, определяемый формулой (2.33) или (в классической механике) (2.34) (второй закон Ньютона).

Величина, стоящая в правой части уравнения (2.35), характеризующая взаимодействие частицы с остальным миром, называется силой. Фактически здесь утверждается, что во всех случаях удастся подобрать такую векторную функцию F, что движение частицы будет подчиняться уравнению вида (2.35). Задачей физики является нахождение сил для различных взаимодействий.

Уравнение (2.35) означает, что за малое время At изменение импульса частицы будет равно.

При малых скоростяхи уравнение (2.35) приобретает вид

При этих же условиях уравнение (2.36) примет вид.

Силы, действующие на макроскопическое тело, могут быть измерены динамометром (устройством типа пружинных весов), и уравнение (2.38) в этом случае дает способ определения массы тела, так как изменение скорости тела за данное время может быть измерено.

Из этого же уравнения усматривается смысл массы: масса определяет отклик тела на данную силу. Чем больше масса, тем слабее отклик, тем меньше изменение скорости тела. Житейское понятие массы связано с весом тела, т. е. с силой притяжения тела к Земле (с силой гравитационного взаимодействия тела с планетой Земля), которая по некоторым (глубоким) причинам, не связанным с обсуждаемым вопросом, оказывается пропорциональна массе. Правильное ощущение массы, не связанное с весом, имеют космонавты, так как в космическом корабле вес не проявляется, и, как мы уже обсуждали, именно космический корабль является хорошей инерциальной системой.

3. Два тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению (третий закон Ньютона).

Это утверждение верно в классической механике, но если тела взаимодействуют на большом расстоянии или движутся с большими скоростям, ситуация не столь проста. Обсуждение возникающих здесь проблем увело бы нас далеко в сторону, и в дальнейшем будем считать это утверждение справедливым.

Задача 2.6. Пуля пробивает стену. Оценить силу, действующую на стену. Масса пули 10 г, скорость пули на входе 300 м/с, на выходе 100 м/с, толщина стены 5 см.

Решение. При прохождении пули сквозь стену импульс пули изменяется, откуда следует, что на пулю действует сила. Обратимся к равенству (2.38). Пусть пуля движется вдоль оси х, стена — в плоскости уС>1. Имеем:

где Д/ — время действия силы (время взаимодействия пули со стеной). Для оценки времени взаимодействия предположим, что скорость пули в стене убывает линейно со временем (ускорение постоянно). Тогда.

где Дх — толщина стены, и для силы получим Подставляя числа, найдем

Это сила, действующая на пулю со стороны стены. На стену по третьему закону Ньютона будет действовать сила -F.

Задача 2.7. Ситуация та же, что и в предыдущей задаче, но пуля выходит из стены под небольшим углом, а к нормали к стене.

Решение. Пусть траектория пули лежит в плоскости хОу. Для изменения импульса получим.

Для силы, действующей на пулю, будем иметь.

Как видим, появилась составляющая силы, параллельная стене.

Из уравнения (2.35) можно сразу получить некоторые важные следствия. Подчеркнем прежде всего, что это векторное уравнение. Из него можно получить бесчисленное множество скалярных уравнений следующим образом.

Пусть единичный вектор Я задаст некоторое неизменное направление. Скалярное произведение любого вектора на вектор Я даст число, которое есть проекция этого вектора на направление, задаваемое вектором Я: an = Acosa = я", где a — угол между векторами Я, Я. Умножим уравнение (2.35) скалярно на вектор Я. Получим.

Скалярное произведение дифференцируется по обычному правилу дифференцирования произведения:

Учитывая это правило, а также то, что Я — постоянный вектор, из (2.39) получим

Это скалярное уравнение для проекции импульса на направление п. Из него, в частности, следует, что если проекция силы на некоторое направление все время равна нулю, проекция импульса на это направление не изменяется. (Пример: горизонтальная составляющая скорости брошенного камня не изменяется.).

Уравнений вида (2.41) можно получить сколько угодно, выбирая различные векторы л, но не все они будут давать что-то новое. Достаточно написать такие уравнения для трех различных векторов. Все остальные уравнения будут следствиями этих трех. Выбор этой тройки векторов произволен и диктуется соображениями удобства.

Уравнение (2.35) можно проектировать и на меняющееся направление. Один из полезных способов следующий.

Пусть х — единичный касательный вектор к траектории движущейся частицы, а п — вектор нормали (см. п. 1.2.4). Очевидно, что р х = р. Умножим уравнение (2.35) скалярно на вектор х. Получим.

Левую часть этого уравнения преобразуем с помощью тождества (2.41):

Вектор <1х/с1/ направлен по нормали к траектории, и поэтому второе слагаемое в правой части этого равенства равно нулю. Уравнение (2.42) примет вид.

где — проекция силы на касательную к траектории (тангенциальная сила). Уравнение (2.43) определяет изменение модуля импульса под действием силы. Если тангенциальная составляющая силы отсутствует, величина импульса не изменяется со временем.

Формула (2.43) означает, что изменение модуля импульса за малое время А/ будет равно.

Значение импульса к моменту / найдется как сумма малых изменений за время от нуля до /:

или.

Здесь р (0) — начальное значение импульса. Если тангенциальная сила действует достаточно долго, конечное значение модуля импульса может быть сколь угодно велико, но скорость частицы не может быть сколь угодно велика. Из формулы (2.33) следует, что.

Видим, что V -> с.

Р-*оо Умножим уравнение (2.35) на единичный вектор нормали к траектории п:

Левую часть этого уравнения преобразуем по формуле (2.40):

Первое слагаемое в правой части (2.48) равно нулю, так как векторы р и п ортогональны и их скалярное произведение все время равно нулю. Если траектория частицы лежит в плоскости, можно показать, что , где Я — радиус кривизны траектории.

Подставляя это выражение в равенство (2.48) и возвращаясь к уравнению (2.47), получим.

Нормальная составляющая силы определяет кривизну траектории.

Задача 2.8. В условиях задачи 1.13 определить силу, действующую на автомобиль.

Решение. Скорость автомобиля много меньше скорости света, р = ту, формула (2.49) дает Я_п = ту ²/Я = та_п. Если водитель не нажимает на тормоз, скорость постоянна и тангенциальная сила равна нулю, так что/^г= / Если масса автомобиля т = 1000 кг, получим /*= 4- ДОН. Откуда берется эта сила? Это сила сцепления колес с дорогой. Если сила сцепления окажется меньше, радиус кривизны будет больше, автомобиль не впишется в поворот и вылетит на обочину (при данных условиях это так и будет).

Замечание. Может возникнуть вопрос, уместно ли применять обсуждаемые уравнения движения к автомобилю, учитывая, что они формулировались для частицы, т. е. для точечного объекта. Хотя автомобиль ни в каком смысле не точечный объект, приведенное решение законно. Это станет ясным в дальнейшем, когда мы обсудим динамику твердого тела.