Минимизация времени выхода на стационарный режим

Одна из важнейших проблем управления биотехнологическими системами — стабилизация процесса. Известно, что в промышленном культиваторе переходные процессы могут продолжаться сутками и иметь характер колебаний биомассы с большой амплитудой, что чрезвычайно затрудняет процесс культивирования. Поэтому актуальной задачей управления является задача наибыстрейшего вывода системы в стационарный режим. Эффективным методом для этот служит применение принципа максимума (Понтрягин, 1966).

Напомним, что решение задачи управляемости системы, т. е. строгое математическое доказательство существования хотя бы одного (не обязательно оптимального) управления, которое переводит объект в требуемую точку, выполнено лишь для линейных систем. Большинство же моделей процессов культивирования микроорганизмов нелинейные. Поэтому применение к ним принципа максимума (или другого оптимизационного критерия) не вполне обосновано.

Здесь мы представим математически корректное решение задачи наискорейшего выхода в стационар для простейшей модели Моно из книги (Заславский, Полуэктов, 1988).

Рассматривается система, изученная нами в 6.1:

Предполагается, что д = 1. Это условие легко выполнить, сделав замену переменной: дх = у. В качестве управляющего параметра используем концентрацию подаваемого в реактор субстрата: S_p € [0,а).

Пусть S, х — стационарные концентрации субстрата и биомассы, причем при S⁰ < а выполняется условие невымывания. В этом случае стационарное решение существует и единственное (см. раздел 6.1). Оно задается выражениями.

S'® — концентрация субстрата на выходе культиватора.

Областью притяжения этого решения будет весь положительный квадрант фазовой плоскости: (т > О, S ^ 0}.

Построим оптимальное управление 5_р(х, S), переводящее решения системы (6.6.8) в точку (3?, S) за наименьшее время и удовлетворяющее ограничениям: 0 < S_p < а. Поскольку 5® — внутренняя точка области допустимых значений, управление можно представить в виде S_p = S® + и_у где и изменяется в пределах —5° ^ и ^ (а — Sp) = щ и, следовательно, меняет знак. Условие достижимости стационарной точки при малых отклонениях от нее гарантируется критерием Калмана:

который выполняется. Следовательно, оптимальное управление существует. Для его отыскания воспользуемся принципом максимума.

Найдем значения, которые может принимать оптимальное управление. Выпишем гамильтониан системы:

Из принципа максимума следует, что оптимальное управление принимает лишь два значения:

Найдем число изменений величины управления и, называемое числом переключений управления. Из формулы (6.6.11) видно, что число переключений равно числу перемен знака функции ^2(0* Рассмотрим поведение^г (?) при движении точки х (?), S (t) вдоль оптимальной траектории. Для этого выпишем уравнения, которым удовлетворяют вспо;

могательные переменные ip и.

Отсюда следует, что.

Разность «02 — =.

можно записать в виде:

Это означает, что функция не меняет знак в течение всего движения. Выразим переменную через <�р и tfo и подставим в уравнение (6.б. 13):

Отсюда.

раза. Отсюда следует, что оптимальное управление может принимать лишь два значения, заданных формулой (6.6.11).

Чтобы найти окончательный вид оптимального управления, рассмотрим поведение оптимальных траекторий на фазовой плоскости (х, S). Обозначим L семейство кривых, соответствующих управлению и — —S_p. Эти кривые служат траекториями решений системы вида:

и соответствуют отсутствию подачи субстрата в культиватор.

Уравнение для фазовых траекторий (кривые семейства L):

Проведем на фазовой плоскости (х, 5) прямую 5 = 5, где р (5) = = D. Семейство кривых L ортогонально прямой 5 = 5о, так как тангенс угла наклона вдоль этой прямой равен оо. Из монотонности функции ц (5) и положительности величин р (5), х и 5 следует, что dS/dx > 0 при 5 < So и dS/dx < 0 при S > So. Сложим уравнения системы (6.6.14):

in.

Видно, что х + S —? 0 при t —? ос. Кроме того, ~ < 0, поэтому S —* О при t —" оо и, следовательно, я —> 0 при t —* оо. Итак, решения системы (6.6.14), начинающиеся в области Q = {я > О, S ^ 0}, стремятся к началу координат (х = О, S = 0) при t —* оо. Семейство кривых Li показано на рис. 6.18, причем точка (x (t), S (t)) движется вдоль траектории сверху вниз.

Отметим специально траекторию,_проходящую через точку (х, 5), ее часть, лежащую выше прямой 5 = 3, обозначим через Р.

Теперь перейдем к изучению оптимальных траекторий, соответствующих управлению и = щ (щ = а — 5°). Семейство этих кривых обозначим через L4, оно задается системой уравнений.

Траектории L4 также ортогональны прямой 5 = 5. Из монотонности функции р (5) следует, что ^ < 0 при 5 < 5, поэтому точка (x (t), S (t))

движется влево, а при 5 < 3 производная —^ < 0 и точка (x (t), S (t)) движется вправо.

Рассмотрим кривую Рч семейства L4, при движении по которой точка (x (t)_yS (t)) попадает в стационарное состояние (х, 5). При х = х, 5 = 5 величина 5 возрастает, так как.

Рис. 6.18. Фазовый портрет для задачи о наискорейшем выведении популяции микроорганизмов в равновесное состояние. L_} L2 — семейства траекторий для управлений и = —S_p (система уравнений (6.6.14)) и и = а — Sp (система (6.6.16)). Pi, Р2 — линия переключения (Заславский, Полуэктов, 1988).

и поэтому кривая Р2 входит в точку (х, 5) снизу. Линия Р2 задается монотонно убывающей функцией и пересекает ось 5 = 0.

В (Заславский, Полуэктов, 1988) доказано следующее. Монотонно убывающая кривая Pi, Р2, состоящая из двух рассмотренных отрезков кривых семейств Ь и L2, разбивает область Q = {х > 0,5 ^ 0} на множество Q+, лежащее слева от Pi, Р2, и множество Q_, лежащее справа от Pi, Р2. Иными словами, Q = Q+ U Q- U (Pi, Р2).

Оптимальное управление задается правилом:

т.е. отрезок Pi, Р2 образует линию переключения.

Из рис. 6.18 видно, что движения, начавшиеся в области П+ и имеющие управление и = ио, пересекают линию Рь так как они стремятся к точке, лежащей в области Движения, начавшиеся в области Q_ и имеющие управление и = 5?, пересекают линию Р2, так как они стремятся к началу координат, лежащему в области Q+. Кривые семейства Z/2 могут иметь с линией Р не более одной общей точки, а кривые семейства L — также не более одной общей точки с кривой Р2. Единственный способ попасть в точку (гг, 5), двигаясь вдоль оптимальной траектории и имея не более одного переключения, — это выйти на кривую Р, Р2 и двигаться вдоль нее к стационарной точке.

Таким образом, если начальные значения концентрации биомассы малы (движение начинается в области Q+), следует задать максимально возможную концентрацию субстрата (управление и = ito, S_p = а) и двигаться по фазовой кривой семейства L2 до пересечения с кривой Pi. Затем следует вообще отключить подачу субстрата (управление и = — 5®; S_p = 0), в результате чего система по траектории Р попадет в заданную стационарную точку. Здесь можно вернуться к начальной входной концентрации 5°.

Если исходными будут большие концентрации биомассы (область П_), вначале следует двигаться, но фазовой траектории семейства Ly отключив подачу субстрата (управление и = и о = — Sjj, S_p = 0) до пересечения с кривой Р2. Затем надо увеличить S_p до максимально возможного значения (управление и = tio, S_p = а), что позволит системе по кривой Р2 перейти стационарную точку (х, S).

Эти способы управления обеспечат системе наибыстрейший выход в заданный режим работы.

Кроме описанного выше режима управления хемостатом в монографии Заславского, Полуэктова (1988), проведено исследование систем культиваторов других типов. Для турбидостатов, в которых поток через реактор включается в моменты, когда измеряемый показатель плотности популяции (например, оптической) превосходит заданное значение, найдены условия существования устойчивого скользящего режима управления, позволяющего вести процесс культивирования при высоких концентрациях субстрата и скоростях разбавления, близких к критическим. Такой режим управления существенно увеличивает производительность установки.

Изучены также условия стабилизации в культиваторах непрямого управления, когда плотность биомассы влияет не на сам контролируемый параметр, а на его производную. Примером такого устройства является оксистат, в котором измеряется концентрация растворенного кислорода в среде. Предполагается, что скорость потребления кислорода пропорциональна концентрации биомассы.

Структура такой системы изображена на рис. 6.19. В ферментере 1 находится раствор культуры. Измерительный элемент 4 опреде;

Рис. 6.19. Система непрямого управления для стабилизации численности непрерывной культуры: 1 — реактор; 2 — система подачи кислорода; 3 — датчик концентрации субстрата; 4 — датчик концентрации растворенного кислорода; 5 — дозатор ляет концентрацию кислорода в среде. Дозирующее устройство 5, связанное с контрольным клапаном, измеряет скорость подачи субстрата в ферментер.

Запишем соответствующую модель. Обозначим через 2 концентрацию кислорода в среде, z_p — концентрацию насыщения кислорода, </(х, 5, 2) — скорость потребления кислорода клетками, Ь — скорость растворения кислорода. Система уравнений для переменных — концентраций субстрата s, биомассы х и кислорода z — имеет вид:

Здесь d — установленная скорость разбавления, и> — управление, d 4- со — фактическая скорость разбавления, А — матрица с неотрицательными диагональными элементами, описывающая структуру размножения клеток культивируемой популяции, p (s, z) — удельная скорость роста биомассы. Если функция р = /z (s), т. е. не зависит от 2, первые два уравнения можно решать отдельно.

Б. Г. Заславским показано, что контроль лишь за концентрацией кислорода не дает возможности сконструировать управление, обеспечивающее устойчивость стационарного режима при больших возмущениях начальных данных. Для такого управления необходима регистрация концентрации субстрата (пунктирная линия на рис. 6.19). Асимптотическую устойчивость стационарного режима может обеспечить лишь управление переменной структуры.