Напряжения и деформация при кручении вала

Выведем формулы для определения деформаций и напряжений, возникающих при кручении валов. Для наиболее часто встречающихся валов круглого и кольцевого сечения при кручении поперечные сечения сохраняют плоскую форму, а радиусы этих сечений, поворачиваясь, не искривляются.

Приведенный ниже вывод базируется на этих предположениях и справедлив, соответственно, только для валов круглого и кольцевого сечения. Рассмотрим элемент вала (рис.а) длиной l, причем крайнее левое сечение этого элемента будем считать условно неподвижным, что эквивалентно определению перемещений относительно этого сечения. Нетрудно показать, что рассматриваемый элемент испытывает деформацию сдвига. Действительно, любая образующая наружная АВ или внутренняя ЕС смещается при кручении и возникают перекосы, определяемые углами сдвига Ymax для образующей АВ или Y для образующей ЕС (рис.а). При этом радиус крайнего правого сечения OB поворачивается в положение ОВ1 на некоторый угол ф, называемыйуглом закручивания. Учитывая малость деформаций и выражая ВВ1 и CC1 как дуги окружностей, легко определить соотношения между углом сдвига Ymax или Y и углом закручивания ф:

откуда.

или получим.

Таким образом, угол сдвига в поперечном сечении прямо пропорционален расстоянию от оси вала р. Величина ф/l, определяющая относительный угол закручивания или угол на единицу длины, для каждого сечения вала является постоянной, так как выражается через постоянную значения Ymax и r. Сдвиг отдельных элементов вала сопровождается возникновением в его поперечных сечениях касательных напряжений, которые могут быть определены по закону Гука для сдвига:

т. е. касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине радиуса по линейному закону. Сдвиг в поперечных сечениях при кручении происходит по направлению касательных к окружностям, поэтому направление касательного напряжения в какой-либо точке течения перпендикулярно к соответствующему радиусу (рис.б).

Зная закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению бруса, можно определить их величину в зависимости от крутящего момента, возникающего в данном поперечном сечении.

Если dA — площадь элементарной площадки (см. рис.б), то элементарная внутренняя сила на этой площадке, расположенной на расстоянии р от оси бруса, rdA, а ее момент относительно оси бруса равен rdAp.

Сумма моментов всех элементарных внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении, представляет собой крутящий момент Мк в данном сечении и определяется интегралом, взятым по всей площади.

Выражая т через и вынося затем постоянный множитель за знак интеграла, получаем.

Этот интеграл, как известно из предыдущего, представляет собой полярный момент инерции сечения.

Таким образом, откуда.

и соответственно.

Выведенная формула определяет касательное, напряжение в любой точке поперечного сечения при кручении вала круглого поперечного сечения. Напряжения в точках, близких к оси вала, малы, поэтому для уменьшения его массы иногда удаляют внутреннюю часть и делают его полым — с кольцевым сечением. Наибольшего значения достигают напряжения в поперечном сечении в точках у поверхности, т. е. в точках, наиболее удаленных от его оси.

Отношение Jp/r = Wp называют полярным моментом сопротивления сечения.

Полярный момент сопротивления круга вычислим, разделив величину Jp на радиус г = 0,5d,.

Аналогично для кольцевого сечения где.

Определим угол закручивания бруса, изображенного на рис.а. Исходя из уравнений и находим.

Подставляя окончательно получаем.

Величина угла ф выражается в радианах. Угол поворота можно определять лишь для участка бруса, имеющего постоянное поперечное сечение, при условии, что крутящий момент по длине этого участка не изменяется.