Падение частицы на потенциальный барьер

Рассмотрим движение частицы вдоль оси х в консервативном силовом поле, описываемом следующей зависимостью потенциальной энергии U от координаты х:

где Uо — положительная постоянная, называемая «высотой*' потенциального барьера. График зависимости (20.43) приведен на рис. 20.7. Эту зависимость следует рассматривать как идеализацию зависимости U = U (x), график которой изображен на рис. 20.2. Производная функции (20.43) всюду на оси х, за исключением точки х = 0, равна нулю. В точке х = 0 производная этой функции равна +оо. Из этого следует, что при движении частицы вдоль оси х только на узком интервале в окрестности точки х = 0 на нее будет действовать сила, которая направлена в сторону, противоположную оси х.

Рис. 20.7. Потенциальный барьер.

Пусть на потенциальный барьер падает однородный поток частиц, движущихся слева направо. Рассмотрим случай, когда энергия Е каждой из падающих на барьер частиц меньше высоты U₀ барьера:

В области перед барьером, где х < 0, потенциальная энергия частицы.

где А и В — постоянные интегрирования. Таким образом, в области, где х < 0, волновая функция ф = ip (t, х) будет представлять собой сумму (20.7) двух волн, одна из которых х) бежит направо, т. е. падает на барьер, а другая ^-(*" *) «налево, т. е. отражается от барьера.

В области, где х > 0, потенциальная энергия U равна U₀. Для этих значений х уравнение (20.23) можно привести к виду.

Здесь Общее решение уравнения (20.47) имеет вид.

где С и D — постоянные. Коэффициент D следует положить равным нулю, так как в противном случае функция <�р (х) будет неограниченно возрастать при х —* оо, что лишено физического смысла.

Итак, волновая функция.

Эта функция и ее производная непрерывны всюду, кроме точки х = 0, в которой они также должны быть непрерывны:

Подстановка выражений (20.49) в эти условия приводит к системе уравнений.

разрешив которые относительно В и С, получим формулы Теперь функцию.

(20.49) можно записать так:

При помощи формулы Эйлера.

функцию <�р (х) при х < 0 нетрудно преобразовать к виду.

где Используя полученные выражения для функции <�р (х), построим график зависимости от координаты х концентрации частиц в потоках, падающих на потенциальный барьер, отраженных от него и преодолевших его:

График этой зависимости показан на рис. 20.8.

Рис. 20.8. Интерференция волновых функций и туннельный эффект 382.

Зависимость n = п (я) на рис. 20.8 демонстрирует существенное различие в движениях потоков частиц по законам классической механики и по законам механики квантовой. Согласно законам классической механики концентрации частиц, падающих и отраженных от потенциального барьера в области х < 0 всюду одинаковы; а в области х > 0 концентрация частиц должна быть равна нулю при условии, что энергия частицы Е меньше высоты U₀ потенциального барьера. Как видно из графика на рис. 20.8, вследствие интерференции волн *) и х), падающей на барьер и отраженной им, концентрация частиц в области х < 0 периодически изменяется. Волновые свойства частиц проявляются также в том, что их концентрация в области х > 0 не равна нулю. Эти свойства микрочастиц позволяют им проникать в те области пространства, где их присутствие запрещено законами классической механики. Это явление называют туннельным эффектом.

В области за барьером волновая функция ф имеет вид.

Эта функция — не бегущая волна. Она описывает неподвижное ''облако" частиц, средняя скорость которых равна нулю.

В области х > 0 концентрация частиц убывает по закону.

Согласно этой формуле на расстоянии d = Л «¹ от барьера, т. е. места, где на частицы действует тормозящая их движение сила, концентрация частиц имеет значение Расстояние

называют глубиной проникновения частиц за барьер. Из этой формулы видно, что глубина d тем больше, чем меньше разность U₀ — Е. Когда энергия частицы будет больше или равна высоте барьера, глубина проникновения d станет бесконечно большой.

Интересно рассмотреть предельный случай, когда высота барьера U₀ стремится к бесконечности. При этом будет неограниченно возрастать сила, которая тормозит движение частиц в окрестности точки х = 0. Очевидно, что в предельном случае бесконечно высокого барьера частицы не смогут его преодолеть и их концентрация за барьером будет равна нулю. В самом деле, при U₀ —* оо величина А, определяемая формулой (20.48), также стремится к бесконечности. При этом предельная волновая функция будет.

Рассмотрим теперь падение на барьер потока частиц, которые летят из — оо и энергия Е каждой из которых больше высоты барьера U₀:

В этом случае уравнение (20.23) при х > 0 следует записать так:

Здесь Общее решение уравнения (20.51) имеет вид.

где С и D — постоянные интегрирования. Первое слагаемое в этой сумме описывает волну, бегущую направо от барьера, а второе — волну, бегущую в противоположную сторону из + оо. По смыслу рассматриваемой задачи в области за барьером, где х > 0, может существовать только первая волна, описывающая прток частиц, преодолевших действие тормозящей силы. Поэтому коэффициент D следует положить равным нулю. Итак, в случае, когда Е > U₀, волновая функция будет.

Условия (20.50) непрерывности функции <�р (х) и ее производной приводят к уравнениям

Из этих уравнений найдем амплитуды отраженной от барьера и прошедшей за него волн:

Произведение концентрации п частиц в потоке на их скорость v есть число частиц, пересекающих за единицу времени единичную площадку, перпендикулярную к траекториям частиц. Очевидно, что произведение п v для потока частиц, падающих на барьер, равно сумме таких произведений для потоков отраженных от барьера частиц и частиц, прошедших за барьер:

Концентрация частиц в однородных потоках равна квадрату амплитуды волны, а скорость частицы связана с импульсом и волновым числом соотношениями

Таким образом, приходим к равенству.

которое выражает закон сохранения числа частиц.

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн.

есть доля частиц, отраженных от барьера, или вероятность отражения от него одной из падающих частиц. Величину R называют коэффициентом отражения. С учетом формул (20.54) его можно выразить через волновые числа k н к:

Отметим, что в случае, когда Е < U_0} коэффициент отражения равен единице:

Отношение есть доля частиц, прошедших за барьер, или вероятность проникновения за барьер одной из падающих на него частиц. Это отношение называют коэффициентом прохождения. В силу закона сохранения числа частиц (20.55) коэффициенты R и D связаны соотношением.

где параметр

т.е. отношение волновых чисел, при помощи формул (20.45) и (20.52) можно представить как функцию от энергии частицы:

Нетрудно видеть, при изменении энергии частицы Е от значения U₀ до + оо параметр т) монотонно возрастает от нуля до единицы. При этом коэффициент прохождения D также монотонно возрастает от нуля до единицы.

В случае, когда энергия Е падающей на потенциальный барьер частицы больше его высоты С/₀, классическая и квантовая теории также предсказывают различное поведение частиц после действия на них тормозящей силы. Согласно законам классической механики частица с энергией Е > Uо преодолевает участок пути, где на нее действует тормозящая ее движение сила, и летит дальше. Поэтому все частицы в потоке, падающем на барьер, должны были бы пройти через него и удалиться на бесконечность. Однако так не происходит. Квантовая механика предсказывает, что часть R падающих на барьер частиц будет отброшена назад, как бы велика ни была энергия частицы Е. Этот эффект также есть проявление волновых свойств частиц.

Некоторые выводы классической и квантовой теорий совпадают. Рассмотрим один из таких выводов. Импульсы р и р частицы до и после прохождения барьера связаны с волновыми числами соотношениями де Бройля:

При помощи формул (20.45) и (20.52) получим равенство.

которое выражает собой закон сохранения энергии.

Рассмотрим теперь движение частиц в силовом поле, которое характеризуется зависимостью U = U (х) потенциальной энергии частицы от координаты х, изображенной графически на рис. 20.9. Такая зависимость означает, что в окрестности точки х = 0 на частицу действует сила, направленная против оси х, а в окрестности точки х = / - сила, направленная в ту же сторону, что ось х.

Рис. 20.9. Потенциальный барьер.

Пусть энергия частиц Е меньше высоты U₀ потенциального барьера: Е < С/₀. В этом случае волновая функция у? = у>(х) слева и справа от барьера, т. е. при х € (- оо, 0) U (/, + оо), будет удовлетворять уравнению (20.44); а внутри барьера, т. е. при х € (0, /), — уравнению (20.47). Если поток частиц падает на барьер слева направо, то волновая функция должна иметь вид.

Эта функция должна удовлетворять граничным условиям.

согласно которым волновая функция и ее производная должны быть неУмножим первое уравнение на ik и сложим со вторым, третье также умножим на * к и вычтем из него четвертое. Придем к системе уравнений.

где которые разрешим относительно, а и 6:

В силу неравенства.

справедливо приближенное равенство.

Теперь нетрудно выразить амплитуду С волны, прошедшей за барьер, через амплитуду А волны, падающей на него:

Найдем по формуле (20.57) коэффициент прохождения D. Так как волновое число к волны, прошедшей за барьер, равно волновому числу к, будем иметь.

где.

Рис. 20.10. Потенциальный барьер.

Коэффициент D прохождения частицы через потенциальный барьер произвольной формы (рис. 20.10) можно вычислить по формуле где а и Ь — значения координаты х, при которых функция U(х) равна Е.

''Туннельный эффект", т. е. явление прохождения частиц через потенциальный барьер, высота которого U₀ больше энергии частицы Е, было обнаружено экспериментально.