Неравенство Белла для вероятностей

Идея ЭПР рассматривать статистические ансамбли коррелированных (постранственно разделённых) частиц развивалась Д. Бомом. Он предложил простейший пример, в котором возможно использовать дискретные переменные.

1. ЭПР эксперимент для спина. Вместо позиции и момента квантовой частицы он рассматривал сё компоненты спина^[1] Пусть s € R ⁵ спин квантовой частицы. Для любой оси п € R* мы проекцию вектора s на эту ось символом s_rt (т.с., s" =), где (•,•) и || • || являются, соответственно, скалярным произведением и нормой на постранстве R^[1]). Существует оборудование М" для измерения проекции спина s". Однако, такое измерение возмущает квантовую частицу и изменяет её спин. Пет таких измерительных устройств М_{п п}>, которые могут измеря ть две компоненты {s_rt, s"'}, п Ф п', одновременно. Тем нс менее, для коррели- |юванных частиц (а^[1], а^[4]) (со спинами s^s^[4]) мы можем воспользоваться законом сохранения спинов для этих частиц: s^[1] + s^[4] = 0. Следовательно измерение М, для а^[1] автоматически даёт значение s^[4] спина частицы а². Как обычно, предполагается, что частицы а¹ и а² удовлетворяют условию отделимости Эйнштейна. Согласно критерию действительности ЭПР, получаем, что существует элемент действительности, соответствующий компоненте спина s² (и согласно симметрии для s,¹,) по любой оси п € R^-*. Таким образом, спин s является элементом действительности.

Согласно вероятностным причинам (обсуждённым в предыдущем разделе), мы не применяем критерий действительности ЭПР. Однако, мы можем изучить следующую задачу.

Возможно ли использование реализма при описании измерений спина для коррелированных частиц?

Ограничим наши рассмотрения плоской моделью. Здесь каждое направление п может^- характеризоваться углом ф: п = Пф. Положим s₀ = sign (s, п^). В реальной физической модели мы должны использовать вероятности одновременных измерений компонент спина ^slj ^{и s}h для трёх углов 16 Можно получить некоторое неравенство для этих вероятностей, а, именно, неравенство Белла. Поскольку имеются две частицы а¹ и й², то, чтобы описать (плоскую) модель, нам следует воспользоваться четырёхмерным гильбертовым пространством. Однако, можно получить тот же результат на основе двумерного гильбертова пространства, используя следующую модель.

Пусть 'Н двумерное гильбертово пространство и пусть е.ф = (e$_t+, ф € [0, 27г), ортогональные базисы в пространстве V, которые связаны следующим унитарным преобразованием:

Введём квантовое состояние.

Рассмотрим наблюдаемые (свойства) s₀ соответствующие базисам е₀: sфвф = ±вф. Согласно вероятностной интерпретации квантового состояния Ф, имеем ~P*(s₀ = ±1) = ½.

Если (как обычно полагалось физиками) условные вероятности Р (о> € П: s^(ij) = e/s₀(lj) = S)^[10]

и.

Интересно отметить, что в этой модели не существует противоречия между ‘квантовыми и классическими вероятностными правилами¹. Читатель может легко проверить правильность формулы Байеса.

2. Неравенство Белла для вероятностей. Теперь докажем некоторое неравенство для событий, определяемых тремя переменными s_T(w), 7 = 0, ф, в. По сути, это неравенство не зависит от формы распределений вероятностей случайных величин s₇(w). Мы воспользуемся только тем фактом, что существует колмогоровское вероятностное пространство V = (П, Т. Р) на котором определяются эти случайные величины:

Если сложить вместе уравнения (6.5) и (6.6), получим.

Но первый и третий члены в правой части этого уравнения являются лишь теми членами, которые, будучи сложенными вместе, составят член P (cj € 17: s₀(c*;) = +l, s#(и;) = +1) (колмогоровская вероятность аддитивна). Поэтому, из этого следует, что:

Воспользовавшись неотрицательностью вероятности, получим неравенство:

которое и есть аналог неравенства Белла (для вероятностей).

Вернёмся к физике и применим неравенство (G.10) к ‘квантовым вероятностям¹ Р,_/? см. (6.3), (6.4), которые были вычислены в рамках квантовой механики. Получаем: cos²ф + sin²(# - ф) > cos²#. Теперь положим ф = 3#. Имеем: д (6) = cos² 3#+sin² 26—cos² 6 > 0. Однако, последнее неравенство имеет место только для достаточно больших углов в: 6 > тг/6. Таким образом при в < тг/6 неравенство (6.10) нарушается.

• [1] 'Учёные, чьи интересы далеки от квантовой механики могут представлять спин
• [2] 'Учёные, чьи интересы далеки от квантовой механики могут представлять спин
• [3] 'Учёные, чьи интересы далеки от квантовой механики могут представлять спин
• [4] как вектор s G R, который связывается с каждой квантовой частицей, показывающий ‘внутреннее вращение' частицы.
• [5] как вектор s G R, который связывается с каждой квантовой частицей, показывающий ‘внутреннее вращение' частицы.
• [6] 'Учёные, чьи интересы далеки от квантовой механики могут представлять спин
• [7] как вектор s G R, который связывается с каждой квантовой частицей, показывающий ‘внутреннее вращение' частицы.
• [8] 'Учёные, чьи интересы далеки от квантовой механики могут представлять спин
• [9] как вектор s G R, который связывается с каждой квантовой частицей, показывающий ‘внутреннее вращение' частицы.
• [10] Фактически, в экспериментах нам необходимо использовать четыре угла.