Устойчивость разностных схем

Некоторые математические понятия

Для дальнейшего нам потребуются некоторые математические понятия, которые мы здесь напомним.

Одним из наиболее общих является понятие отображения. Если X и Y — два произвольных множества, то говорят, что на X определено отображение, если каждому элементу х € X поставлен в соответствие однозначно определяемый у € Y .

Для обозначения отображения используются различные формы записи. Так, для отображения F, которое сопоставляет элементам а; из X элементы у из У' применяют запись у = F (x), или у = = Fx, или F: X —? Y. В конкретных приложениях используются и другие формы записи.

В зависимости от того, какова природа множеств X и У, вместо термина отображение используются и другие. В частности, если числовое множество отображается в себя, то говорят о функции, если же множество функций отображается на числовое множество, то в этом случае применяют термин функционал. Термин оператор часто используют в тех случаях, когда X и Y являются функциональными пространствами более общей природы. Например, оператор дифференцирования ставит в соответствие некоторой функции ее производную — другую функцию, которая может иметь другие характеристики гладкости, т. е. принадлежать к другому функциональному пространству.

Линейный оператор обладает следующими свойствами:

Применение линейного оператора к результату его действия на функцию приводит к понятию степени оператора L (Lf) = L²f. Этот оператор также будет линейным. Аналогично L^m = L (L^m~¹).

Для оператора можно ввести норму. Ранее мы рассматривали введение нормы в пространстве непрерывных и сеточных функций (см. с. 46). Норма оператора (линейного) определяется как верхняя грань отношения двух функциональных норм:

Если собственных функций достаточно много, то по величине А^т можно судить о норме степени оператора: