Численная модель 2D течения в прямоугольной полости

Рассмотрим двумерное нестационарное течение проводящей жидкости в прямоугольной полости с непроводящими стенками при наличии объемной силы, обусловленной внешним вращающимся магнитным полем. Запишем уравнение (18) для этого случая в форме.

(19).

Здесь мы полагаем все функции зависящими от времени и двух координат. Сформулируем задачу о течении в прямоугольной полости при заданных граничных условиях на стенках полости:

(20).

Ниже в расчетах мы использовали следующие выражения, описывающие вектор индукции магнитного поля, векторный потенциал, электрическое поле, индуцированный ток и объемную силу взаимодействия проводящей жидкости с магнитным полем:

(21).

Такого типа решение электродинамической части задачи (6) может быть получено в том случае, когда параметры системы удовлетворяют условию. В этом случае система параболических уравнений (6) вырождается в уравнение Пуассона, решением которого является векторный потенциал во внешней области, что совпадает с (21). Отметим, что выражения (21) удовлетворяют в объеме течения уравнениям .

Интересно, что для данных [10] соответствующий параметр составляет, т. е. требование его малости не выполняется. Тем не менее, свидетельствуют, что вторичное электрическое поле мало в сравнении с основным полем, даваемым выражением (21), поэтому им можно пренебречь.

В результате система уравнений (19) принимает вид:

(22).

Число Рейнольдса задачи (19)-(21) определяется в процессе решения. Для этого система уравнений (19) приводится к безразмерному виду с использованием масштабов длины, скорости и времени .

Здесь параметр выражается через магнитное число Тейлора в виде.

. (23).

Давление в полости определяется из уравнения (14), имеем.

(24).

Представлены данные моделирования течения в прямоугольной полости с отношением сторон, с числом Рейнольдса и с параметрами. Заметим, что в нормированных координатах мы сместили центр полости в точку. Из приведенных данных следует, что в полости формируется нестационарное вихревое течение, качественная картина которого согласуется с данными [10].

Из приведенных на рис 3 данных следует, что максимальная амплитуда скорости превосходит 0.8. Представлено распределение модуля скорости потока и профили скорости в сечениях в моменты времени. Отметим, что максимальная амплитуда скорости для каждого профиля монотонно возрастает со временем.

Увеличивая число Рейнольдса в 5 раза, находим турбулентный режим, в котором компоненты скорости испытывают колебания в пространстве и во времени.

Из приведенных данных следует, что переход к турбулентности осуществляется в некоторый момент времени, когда амплитуда скорости достигнет определенного значения. Такого типа неустойчивость является свойством решений в модели (22) и ранее была обнаружена при обтекании крыла с ускорением потока [12], а также для турбулентного течения в прямоугольной полости, взаимодействующего с внешним потоком [19].

Интересной особенностью модели (22) является то, что она описывает как устойчивый режим течения — рис. 3−4, так и неустойчивый режим — рис. 5−6. Вообще говоря, течение с периодически изменяющейся объемной силой не может быть стационарным в обсуждаемой области параметров. Поэтому модели типа [6−10], в которых используется среднее значение силы электромагнитного происхождения, могут служить лишь для качественного описания явлений. Тем не менее, в работе [10] было получено удовлетворительное согласие расчетных профилей течения с экспериментальными данными, что, видимо, объясняется слабой чувствительностью модели трехмерного вязкого течения к изменению характера действующей силы при усреднении параметров течения по времени [17].