Ранг матрицы.
Матрицы и определители
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований. Прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число. Элементарными называются следующие преобразования матрицы: Умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,. Перестановка двух любых строк (или… Читать ещё >
Ранг матрицы. Матрицы и определители (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица, А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы, А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы, А равен r, то это означает, что в матрице, А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы, А обозначается через r (A). Очевидно, что выполняется соотношение.
0? r (A)? min (m, n).
Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т. е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
- 1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
- 2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
- 3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы, А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.
Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,.
.
При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.