Основы математической статистики

Задача математической статистики, в строгом понимании этого термина, состоит в разработке и применении методов описания реальных явлений вероятностными моделями, исходя из данных, полученных в результате наблюдений за этими явлениями.

В более широком смысле математическая статистика понимается как совокупность методов планирования экспериментов и обработки данных, полученных в результате экспериментов или наблюдений, причем эти методы могут не основываться на вероятностных моделях. При таком широком понимании вместо термина «математическая статистика» часто используют термин «анализ данных».

Исторически вначале сформировались методы обработки данных, не связанные тесно с теорией вероятности, так называемая дескриптивная, или описательная, статистика. С начала XX в. начали интенсивно развиваться методы анализа данных, основанные на вероятностных моделях, прежде всего, методы статистического оценивания и статистической проверки гипотез, о которых в основном и будет идти речь в данной главе.

Развитие вычислительной техники привело к появлению новых методов анализа. Некоторые из них разработаны на основе подходов, отличных от теоретико-вероятностного, — геометрические, оптимизационные и др. Вероятностное обоснование этих методов либо отсутствует, либо недостаточно развито, что затрудняет количественную оценку степени достоверности получаемых выводов аналитическими средствами классической математической статистики. Однако в последние годы, в связи с быстрым ростом производительности ЭВМ, получили распространение процедуры так называемого случайного моделирования (пермутационные методы, бут-стрэп), позволяющие оценить статистические свойства получаемых решений без использования аналитических методов.

Начнем рассмотрение методов математической статистики с ее исходного понятия — случайной выборки.