Вычисление средней арифметической в больших выборках

Прямой метод вычисления X при большом числе вариант при отсутствии вычислительной техники требует много труда. Поэтому при биометрической обработке многочисленных выборок используются другие (непрямые) методы, в частности способ произведений, или «условной средней». В основу положено следующее свойство средних величин: алгебраическая сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней арифметической величины (сумма центральных отклонений) всегда равна нулю, т. е. (v-X) = 0. При этом способе для вычисления средней арифметической величины используются вариационные ряды. Вычисление производится по формуле.

где А — условная средняя (центральное значение модального класса);

b — поправка к условной средней арифметической (b= ^Q); к —.

п

величина классного промежутка.

Первый пример. Для вычисления средней арифметической величины по промерам высоты в холке коров бестужевской породы желательно использовать готовый вариационный ряд, составленный по значениям данных промеров (табл. 3.3) и добавить две графы под рубрикой — отклонения каждого класса от модального а и рха.

Затем нужно выделить условно средний (модальный) класс. За модальный класс, как правило, принимается класс с наибольшим количеством частот вариант. Модальный класс следует выделить путем заштриховки. Если в вариационном ряду имеется несколько классов с одинаковым максимальным значением частот, то в качестве модального берется один из них, расположенный к середине ряда.

Таблица 3.3

Вычисление средней арифметической величины промеров высоты в холке коров

бестужевской породы

Определяют условную среднюю арифметическую (А). За условную среднюю величину принимается середина модального класса, поскольку искомая X скорее всего будет близка к нему (в случае с прерывным варьированием — плодовитость свиноматки, яйценоскость и т. д.) или к начальной границе (АД модального класса прибавляют половину значения классного промежутка (в случае с непрерывным варьированием): А = А_г+ —. Значение классного промежутка (/с) берется не округленное.

В нашем примере наибольшее количество частот вариант (р = 21) имеет пятый класс с границами 127—128 см, тогда.

Далее, приняв модальный класс за нулевой, находят отклонение срединного значения каждого класса от модального, выраженное в единицах классного промежутка. Эти отклонения обозначаются буквой а. Классы, расположенные в таблице вверх от модального класса, будут меньше него на один, два, три и т. д. классных промежутка. Аналогичные отклонения будут в классах, стоящих ниже от условного среднего, но только с положительным знаком.

Записав отклонения с их знаками в третью графу таблицы, умножают отклонения каждого класса (а) на соответствующую частоту (р) и произведения (рха) вписывают в четвертую графу таблицы. После этого суммируют все значения рха с учетом их знака: сначала все положительные (+р х а), затем все отрицательные (-р х а) и вычитают из большей суммы меньшую, сохраняя знак большей величины.

Если бы условная средняя (Л) совпадала с истинной средней (X), то? рха с минусом равнялась бы^рха с плюсом, а их общая сумма была бы равна нулю. В нашем примере? р х а с минусом равняется -55, а^рха с плюсом —108, их алгебраическая сумма? рха = 108−55 = 53. Следовательно, условная средняя в какой-то мере отличается от истинной средней. Это несовпадение корректируется поправкой, обозначаемой буквой Ь.

Вычисляют поправку к условной средней арифметической по формуле b = ^Р^ха. Поправка (Ь) может быть как с положительным зна- п

ком, так и с отрицательным. Это зависит от знака^рха. Для нашего 53.

примера Ь = ^^ = 0,53. Прибавив к условной средней поправку, получают истинную среднюю арифметическую:

Второй пример. Вычислить среднее арифметическое содержания жира в молоке у коров симментальской породы по следующим данным, %:

Методика определения X остается прежней с той лишь разницей, что в данном случае классный промежуток будет меньше единицы (табл. 3.4).

Таблица ЗА

Вычисление средней арифметической величины содержания жира в молоке коров

Окончание табл. 3.4

• 1. Подсчитывают количество животных в совокупности или число вариант: п = 75.
• 2. Находят максимальное (шах) и минимальное (min) значения признака животных в исследуемой группе:

3. По разности между максимальным и минимальным значением признака определяют лимит:

4. Определяют величину классного промежутка:

• 5. Строят вариационную реиптку.
• 6. Устанавливают границы классов.
• 7. Разносят варианты выборки по классам.
• 8. В вариационном ряду выделяют модальный (условно средний) класс.
• 9. Выделяют условную среднюю арифметическую:

• 10. Определяют условные отклонения каждого класса от модального (а).
• 11. Подсчитывают сумму всех произведений:

12. Вычисляют поправку к условной средней арифметической:

Задание для самостоятельной работы.

Вычислить среднюю арифметическую в больших выборках, пользуясь данными заданий 1—15 главы 2.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Какими свойствами обладают средние величины?
• 2. Перечислите средние величины. Как их используют?
• 3. Как вычисляется средняя арифметическая для малой выборки и для большой выборки?
• 4. Что такое средняя взвешенная? В каких случаях она применяется? Как ее вычислять?
• 5. Как вычисляют непараметрическую среднюю?
• 6. Как вычисляют среднюю геометрическую?
• 7. Как вычисляют среднюю квадратическую?
• 8. Как вычисляют среднюю гармоническую?
• 9. Что такое мода и медиана?
• 10. Как находят условную среднюю арифметическую?
• 11. Как находят поправочную величину к условной средней арифметической?
• 12. Что такое модальный класс? Как его находят?
• 13. Что показывает средняя арифметическая?
• 14. Как определяют отклонения класса от модального?
• 15. Может ли быть со знаком минус? Почему?