Уравнение Лотка-Вольтерра как математическая модель динамики системы «Хищник-жертва»

Моделирование динамики популяции становится более сложной задачей, если попытаться учесть реальные взаимоотношения между видами. Это впервые сделал американский ученый Дж. Лотка в 1925 г., а в 1926 г. независимо от него и более подробно — итальянский ученый В. Вольтерра. В модели, известной сейчас как уравнение Лотка-Вольтерра, рассматривается взаимодействие двух популяций — хищника и жертвы. Численность популяции жертвы будет изменяться во времени (завися также от численности популяции хищника) по такому уравнению:

.

гдечисленность популяции жертвы, — численность популяции хищника, — коэффициент рождаемости жертвы, — коэффициент смертности жертвы. Таким образом, увеличение численности жертвы в единицу времени происходит за счет рождения новых особей, а убыль — за счет съедения хищниками.

Прирост популяции хищника описывается таким уравнением:

.

где — численность популяции жертвы, — численность популяции хищника, — смертность хищника, — коэффициент рождаемости хищника. Рост популяции хищника в единицу времени пропорционален качеству питания, а убыль происходит за счет естественной смертности.

При помощи электронной таблицы MS Excel смоделируем динамику численности двух популяций. Создадим новую книгу, в которой на первом листе будут три столбца — номер поколения, численности жертвы и хищника. Введем номер поколения (естественно, 1), а также начальные численности жертв (1000 особей) и хищников (100 особей). Чтобы не нумеровать поколения вручную, в ячейке А3 кликнем левой кнопкой мыши (активизируем ее) и введем и нажмем [Enter]. (т.е. в этой ячейке значение будет на единицу больше, чем в предыдущей).

Теперь введем в ячейку В3 формулу уравнения Лотка-Вольтерра для жертвы:

=B2+$H$ 7*B2*C2-$G$ 7*B2.

Затем в ячейку С3 введем формулу для хищника:

=C2+$E$ 7*C2-$F$ 7*C2*B2.

Численности установятся на исходных значениях 1000 и 100 особей соответственно, то есть популяции находятся в равновесии. Разбалансируем систему. Для этого изменим, например, численность жертвы (кликнув на ячейке В2, введем в строке формул новое значение — например, 500 и нажмем [Enter]). Программа сама пересчитает значения во всех ячейках, и появятся колебания численности обоих видов (рис. 1).

Представим результаты в виде графика: