Одновременно измеряемые физические величины. 
Законы сохранения. 
Четность состояний

Как известно, на опыте измеряют собственные значения оператора физической величины, при этом система находится в состоянии, описываемом собственной волновой функцией. Если две физические величины F w G имеют определенные значения, то им соответствуют состояния, описываемые собственными функциями операторов F и G. Очевидно, что величины Fw G будут иметь одновременно определенные значения, если этим значениям отвечает одна и та же, общая собственная функция. Таким образом, если — общая собственная функция операторов F и G, то = (7ф_я =(7_яф_л. Подействуем теперь на первое из этих соотношений оператором 6, а на второе — оператором F. В результате получаем.

Отсюда следует, что GFty_n = FG^_n. Так как произвольная волновая функция является линейной комбинацией функций ф_п, то такое же соотношение выполняется и в случае любой волновой функции Ф. Это соотношение записывается в виде символического равенства:

О таких двух операторах говорят, что они коммутируют друг с другом, т. е. результат действия двух таких операторов на некоторую функцию не зависит от последовательности их действия. Таким образом, если операторы имеют общие собственные функции, то они коммутируют друг с другом. Справедливо также обратное утверждение: если операторы коммутируют, то они имеют общие собственные функции. Физически это означает, что соответствующие физические величины могут одновременно иметь определенные измеряемые значения. Например, волновая функция ф (г)=Лехр (/р-г/й) является общей для операторов р. р. р. Это значит, что проекции вектора им пуль;

х у z

са на все три декартовы оси координат могут иметь одновременно определенные значения. Вместе с тем координата и соответствующий ей оператор проекции импульса не коммутируют. Например, (р_хх — хр_х)ф = -/йф или в символической форме р_хх — хр_х = -ih ^ 0 .

Это отражает уже известный факт, устанавливаемый соотношениями неопределенностей, что координата и соответствующая проекция импульса не могут одновременно иметь определенные значения, т. е. не могут быть измерены одновременно сколь угодно точно.

Разность GF — FG называют коммутатором операторов 6 и /".Для коммутатора используют обозначение: GF — FG з[ А (/].

В классической механике производная физической величины по времени связана с рассмотрением значений этой величины в два близких момента времени. В квантовой механике такое определение производной невозможно. Например, координата частицы и соответствующая проекция скорости одновременно не существуют. Поэтому в квантовой механике исдоддт из определения среднего значения (2.30) и принимают, что F= F (точка означает дифференцирование по времени). Распишем производную от (2.30):

С другой стороны, по определению средних величин (2.30): — ~dF г dF

F = — = | dV Ф*— Ф. Сравнивая два последних подынтеграль- dt J dt а а.

dF dF i / — —.

ных выражения, получаем равенство: — = —+—HFFHу

Отсюда видно, что динамическая переменная /'сохраняется со временем, если соответствующий ей оператор не зависит явно от времени и коммутирует с оператором Гамильтона. Например, для замкнутой системы, в которой частицы подвержены лишь внутренним силам взаимодействия, оператор Гамильтона не зависит явно от времени и коммутирует сам с собой. Тогда ^- = 0₁ т. е. Я = const.

dt

Это — закон сохранения энергии. Аналогично для свободной частицы получаем закон сохранения импульса: р_х = const. Отметим, что эти равенства имеют символический смысл и показывают, что соответствующие операторы не зависят от времени.

Волновые функции системы, находящейся, например, в центральном поле сил, обладают важным свойством, называемым четностью. Оно связано с преобразованием инверсии, которое заключается в изменении знаков всех декартовых координат на обратные: г —? —г. Такое преобразование, эквивалентное замене правой системы координат на левую, не нарушает вероятностного смысла волновой функции, при этом оператор Гамильтона не должен менять свой знак: Я (-г) = Я (г). Очевидно, это возможно в потенциальном поле, для которого U® = U{-r). В соответствии с преобразованием инверсии вводят оператор инверсии I, который изменяет знаки координат волновой функции на обратные: /ф (г) = ф (-г). Рассмотрим задачу на собственные значения оператора инверсии: /ф (г) = /ф (г), где / — собственное значение. Подействуем еще раз оператором / и учтем, что при двухкратном применении этого оператора координаты волновой функции не изменяются: /²ф (г)=//ф (г)= /²ф (г) = р (г). Отсюда следует, что I² = 1, т. е. оператор инверсии имеет два собственных значения: / = ±1. Это значит, что волновые функции при инверсии координат либо меняют свой знак — |>(г) = -ф (г), либо нет — ф (г) = ф (—г). Первые называют нечетными, а вторые — четными. Говорят также о функциях, соответственно с отрицательной и положительной четностью.

Нетрудно показать, что оператор инверсии коммутирует с оператором Гамильтона, т. е. имеет место закон сохранения четности. Этот закон наряду с законами сохранения энергии, импульса, момента импульса играет важную роль в описании процессов микромира. Однако оказалось, что он не имеет универсального характера и нарушается в некоторых процессах, связанных с элементарными частицами (в случае так называемых слабых взаимодействий). В этих процессах нарушается симметрия между правым и левым (Ли, Янг, 1957).

Уточним теперь, что значит «задать состояние квантовой системы». В классической механике состояние системы в какой-то момент времени задается значениями всех обобщенных координат и импульсов. Уравнения механики позволяют в принципе однозначно определить и измерить эти величины в любой последующий момент времени. Также однозначно может быть найденной значение любой физической величины, относящейся к данной системе. В квантовой механике подобное описание принципиально невозможно, так как не все физические величины могут быть определены (измерены) одновременно. Таким образом, описание квантовой системы является менее детальным, чем классической: можно задать, например, только координаты или только импульсы квантовых частиц. В обшем, может быть задана любая совокупность независимых, одновременно измеряемых величин, число которых равно числу степеней свободы системы. Но значения, измеряемые на опыте, являются средними — собственными значениями соответствующих операторов. Они могут быть вычислены, если найдена волновая функция. Таким образом, задание состояния квантовой системы означает, что задана волновая функция, описывающая эту систему. При этом сама волновая функция ни при каких условиях не может быть измерена. Физический (вероятностный) смысл, как известно, имеет лишь квадрат ее модуля.

ЗАДАЧИ.

• 1. Показать, что ссли/(*) — произвольная функция координаты, то коммутатор [/, р_х J = ih§?-.
• 2. Показать, что коммутатор гамильтониана и оператора импульса равен [Я,^ = /"М?).
• 3. Каковы преобразования инверсии в цилиндрических и сферических координатах?

Ответ. В цилиндрических координатах: г—?/^[1], ф —? <�р + л, z-^[1]-z.

В сферических координатах: г -+ г, ф —"ф + л, 0 -? л — 0.

• [1] См.: Шпольский Э. В. Атомная физика. Т. 2.— М.: Наука, 1984.
• [2] См.: Шпольский Э. В. Атомная физика. Т. 2.— М.: Наука, 1984.