Определение прогибов. 
Сложное сопротивление бруса

Определяют закон изменения прогибов в плоскости как указано в разделе 5, используя известное уравнение и метод Клебша. Далее определяют прогибы в горизонтальной плоскости используя метод Клебша и аналогичное уравнение. Полный прогиб «» в любом сечении балки найдем геометрическим сложением прогибов и в каждом сечении:. Вычислив «» в нескольких сечениях по длине балки, строят изогнутую ось балки и проверяют ее жесткость.

Внецентренное сжатие (растяжение)

Рис. 9.

Эта деформация возникает обычно в вертикальных брусьях и колоннах при действии на них продольных сил, приложенных в т. «Р» (полюс) не совпадающей с т. О — центром тяжести сечении (рис. 9).

При переносе силы в т. О брус нагрузится продольной силой и изгибающим моментом, причем все сечения бруса по его длине будут загружены одинаково.

Пусть на брус в т. «Р» с координатами и действует растягивающая сила (рис. 9). Перенесем силу сначала на ось (плечо), а затем в т. О (плечо). В итоге в поперечном сечении бруса возникнут:

В произвольной точке «В» сечения с координатами и найдем по (2).

Подставляя (6) в (7) получим.

Учитывая, что и подставляя в (9).

В произвольных случаях нагружения в формулы (9) и (10) и надо подставлять со своими знаками в заданных главных центральных осях и. при растяжении бруса, при сжатии.

Эпюры в сечении строятся аналогично как при косом изгибе.

Обозначим координаты точек на Н. О через. В этих точках. Подставляя и в (10) и сокращая на получим.

Это уравнение Н. О. Видно, что это уравнение прямой (и в первой степени), не проходящей через начало координат (т.к. при). Положение Н. О удобно определять отрезками и, которые Н. О отсекает на осях координат (рис. 9) и проходит через т. «» и т. ««. Допустим пока, что и. Точка «» в этом случае имеет координаты. Подставляем это в (11) получим.

(12а) Аналогично т. ««. Подставляя найдем.

(12в).

Из (12) видно, что при и получим и, т. е. наше допущение неверно и правильно Н. О показана на рис. 9.

Свойства нейтральной оси Из формул (12) следует:

• 1. Положение Н. О не зависит от величины и знака .
• 2. Н. О и полюс т. «Р» лежат по разные стороны от центра тяжести сечения т. О.
• 3. При удалении полюса от т. О, Н. О приближается к нему и наоборот.

4. Если полюс расположен на одной из осей координат, то Н. О перпендикулярна к этой оси (при полюс на оси, , т. е. Н. О параллельна оси или перпендикулярна оси).

• 5. При вращении Н. О вокруг произвольной точки «» на ней (рис. 7.9), полюс перемещается по прямой линии, не проходящей через т. О. Подставим в (11). Получим уравнение, которое относительно координат и есть уравнение прямой не проходящей через т. О.
• 6. Н. О делит сечение на две зоны: растянутую и сжатую, заштрихованную на рис. 9 при .

Из соотношений (12) можно решить обратную задачу: зная положение Н. О (т.е. и) найти положение полюса, т. е. и.

Расчеты на прочность.

Определив положение Н. О, проведем к контуру сечения касательные, параллельные Н. О. Получим т.1 с координатами и и т.2 с координатами и. Если в т. «Р» действует, то в т. 1 будут растягивающие (р), а в т. 2 сжимающие (сж). Обычно колонны изготавливают из хрупких материалов, поэтому прочность проверяется отдельно в растянутой и сжатой зонах по формулам (9) или (10):

При действии на колонну сжимающей силы в т. 1 будут, в т. 2 растягивающие.

Размеры сечения обычно определяются методом подбора: задают размеры, определяют положение Н. О, т.1 и т.2 и проверяют в них прочность по (8). Если эти условия не выполняются, меняют размеры сечения и снова проверяют.

Для брусьев с сечениями типа прямоугольника, двутавра или швеллера из пластичных материалов, у которых, первую попытку можно провести как при косом изгибе по второй формуле (8), определив и по (6), а пока не учитывать. Здесь подбор размеров сечения проводить так, как указано ниже формулы (8). Определив размеры сечения, делать проверку по (8) с учетом .

Ядро сечения Для колонн из хрупких материалов (чугун, бетон, камень и т. д.), плохо работающих на растяжение желательно, чтобы от сжимающей силы во всех точках сечения были только сжимающие напряжения. Этого можно добиться, если Н. О не пересекает сечение колонны, а согласно свойства 3 Н.О. это получим, ограничивая удаление полюса «Р» от т. О.

Ядро сечения — это некоторая область вокруг ц.т. (т. О) сечения, внутри которой можно располагать полюс т. «Р», не вызывая в сечении колонны напряжений разных знаков (только знака).

Если полюс «Р» расположен на границе ядра сечения, то Н. О только касается контура сечения. На этом и основан порядок построения ядра сечения, показанный на рис. 10:

• 1. Даем Н. О все возможные положения, касательные к контуру сечения, учитывая симметрию сечения. Это Н. О (1) Н. О (4).
• 2. Для каждого положения Н. О (1) Н. О (3), т. е. вертикальных и горизонтальных, легко определить величины и знаки отрезков и (), зная размеры сечения и положение главных центральных осей .

Например, для Н. О (1) (Н.О (1) и ось параллельны), показан на рис. 10.

3. По формулам (13) вычисляем для каждого положения Н. О координаты полюса, т. е. и и определяем эти т.1 т.3 на рисунке сечения, выполненного в масштабе (рис. 10).

Для Н. О (4) — наклонной, определить и затруднительно. Поэтому здесь лучше использовать уравнение Н. О в виде (11). Н. О (4) проходит через т.т. «а» и «b» сечения, координаты которых и легко определить (величины и знаки). Подставляем их в (11) вместо и получим.

Решаем эти два уравнения для вычисления и, это и будут координаты т. 4 на ядре. Из рис. 10 видно, что Н. О из одного положения в другое переводятся вращением вокруг точек сечения колонны, а согласно свойства 5 Н. О полюс при этом перемещается по прямой. Поэтому т.1 т.4 на рис. 10 надо соединить прямыми линиями. Получим половину ядра сечения, заштрихованную на рис. 10. Сечение колонны симметрично относительно оси, поэтому и ядро его сечения симметрично относительно оси (вторая половина ядра показана пунктиром).

Ядра сечений некоторых фигур

1. Прямоугольное сечение :

Ввиду двух осей симметрии и достаточно двух положений Н. О Н.О (1):

.

.

т.е. т.1 на оси. Н. О (2):

.

т.е. т.2 на оси .

.

Строим т.2., т.3 симметрична т.1, а т.4 симметрична т.2. Соединяем т.1т.4 прямыми линиями, получим ядро сечения в виде ромба с размерами и .

2. Круглое сечение радиуса .

Ввиду осевой симметрии, достаточно одного положения Н.О.

.

Получим т.1 на ядре. Ядро сечения здесь круг с радиусом .