Построение модели Хольта-Уинтерса

Задание 1

В таблице 1.1 приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (16 кварталов).

Таблица 1.1

t.

Y (t).

Требуется:

Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б₁ = 0,3;

б₂ = 0,6; б₃ = 0,3.

Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации;

Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• — случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• — независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁ = 0,32;
• — нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т. е. на 1 год.

Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Y_р (t) = [a (t-1) + b (t-1)] x F (t-4) (1).

Уточнение коэффициентов модели производится с помощью формул:

a (t) = б₁ x Y (t)/ F (t-4) + (1- б₁) x [a (t-1) + b (t-1)] (2).

b (t) = б₃ x [a (t) — a (t-1)] + (1- б₃) x b (t-1) (3).

F (t) = б₂ x Y (t)/a (t) + (1- б₂) x F (t-4) (4).

Из формул 1−4 видно, что для расчета а (1) и b (1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени.

Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8-ми значениям Y (t) из табл. 1.1. Линейная модель имеет вид:

y (t) = a + bt (5).

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а (0) и b (0) по формулам:

b (0) = [? (Y (t) -Y_ср) х (t-t_ср)] / ?(t-t_ср)² (6).

a (0) = Y_ср — b (0) x t_ср (7).

Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1.1, находим значения а (0) и b (0):

Таблица 1.2.

t.	Y (t).	t-t.	(t-t).	Y-Y.	(Y-Y)(t-t).
		— 3,5.	12,25.	— 8,25.	28,875.
		— 2,5.	6,25.	0,75.	— 1,875.
		— 1,5.	2,25.	7,75.	— 11,625.
		— 0,5.	0,25.	— 8,25.	4,125.
		0,5.	0,25.	— 5,25.	— 2,625.
		1,5.	2,25.	4,75.	7,125.
		2,5.	6,25.	14,75.	36,875.
		3,5.	12,25.	— 6,25.	— 21,875.
4,5.	39,25.

b (0) = [? (Y (t) -Yср) х (t-tср)] / ?(t-tср)² = 39/ 42 = 0,928 571 429 = 0,93.

a (0) = Y_ср — b (0) x t_ср = 39,25 — 0,93×4,5=35,065 = 35,07.

Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

y (t) = 35,07 + 0,93t

Из этого уравнения находим расчетные значения Y_р(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 1.3).

Таблица 1.3

t.
Y (t).
y (t).	36,00.	36,93.	37,86.	38,79.	39,72.	40,65.	41,58.	42,51.

Коэффициент сезонности — есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y (t) I квартала первого года, равное Y (1)/y (1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y (5)/y (5).

Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

F (-3) = [Y (1)/y (1) + Y (5)/ y (5)]/2 = [31/36 + 34/39,72]/2 = 0,86.

F (-2) = [Y (2)/y (2) + Y (6)/ y (6)]/2 = [40/36,93 + 44/40,65]/2 = 1,08.

F (-1) = [Y (3)/y (3) + Y (7)/ y (7)]/2 = [47/37,86 + 54/41,58]/2 = 1,27.

F (0) = [Y (4)/y (4) + Y (8)/ y (8)]/2 = [31/38,79 + 33/42,51]/2 = 0,79.

Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 1.4) используя формулы 1−4.

Полагая, что t=1, находим Y_р(1):

Y_р (1) = [a (0) + b (0)] x F (-3) = [35,07+0,93]x 0,86 = 30,91

a (1) = б₁ x Y (t)/ F (t-4) + (1- б₁) x [a (t-1) + b (t-1)]

= 0,3 x 31/0,86 + (1−0,3)x [35,07 + 0,93) = 36,03

b (1) = б₃ x [a (t) — a (t-1)] + (1- б₃) x b (t-1) = 0,3 x [36,03 — 35,07] + (1−0,3) x 0,93 = 0,94

F (1) = б₂ x Y (t)/a (t) + (1- б₂) x F (t-4)= 0,6 x 31/36,03 + (1−0,6) x 0,86 = 0,86

Модель Хольта-Уинтерса.

t.	Y (t).	a (t).	b (t).	F (t).	Y (t).	Абс. погр.,. E (t).
	;	35,07.	0,93.	0,79.	;
		36,03.	0,94.	0,86.	30,91.	0,09.
		36,96.	0,94.	1,08.	40,03.	— 0,03.
		37,63.	0,86.	1,26.	48,14.	— 1,14.
		38,75.	0,93.	0,80.	30,32.	0,68.
		39,64.	0,92.	0,86.	34,11.	— 0,11.
		40,59.	0,93.	1,08.	43,91.	0,09.
		41,95.	1,06.	1,28.	52,21.	1,79.
		42,56.	0,92.	0,78.	34,20.	— 1,20.
		43,37.	0,89.	0,86.	37,32.	— 0,32.
		44,27.	0,89.	1,08.	47,94.	0,06.
		45,02.	0,85.	1,27.	57,60.	— 0,60.
		45,52.	0,74.	0,77.	35,93.	— 0,93.
		47,11.	1,00.	0,88.	39,57.	2,43.
		48,07.	0,99.	1,08.	52,15.	— 0,15.
		48,99.	0,97.	1,27.	62,29.	— 0,29.
		50,07.	1,00.	0,78.	38,70.	0,30.

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E (t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 1.5.

Таблица 1.5

Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели.

t.	E (t).	Точка поворота.	E (t)2	[E (t)-E (t-1)]2	E (t)xE (t-1).
	0,09.	ххх.	0,008.	;	;
	— 0,03.		0,001.	0,02.	— 0,003.
	— 1,14.		1,289.	1,22.	0,036.
	0,68.		0,464.	3,30.	— 0,774.
	— 0,11.		0,013.	0,63.	— 0,076.
	0,09.		0,008.	0,04.	— 0,010.
	1,79.		3,209.	2,89.	0,163.
	— 1,20.		1,430.	8,92.	— 2,142.
	— 0,32.		0,105.	0,76.	0,388.
	0,06.		0,003.	0,14.	— 0,018.
	— 0,60.		0,359.	0,43.	— 0,034.
	— 0,93.		0,873.	0,11.	0,560.
	2,43.		5,919.	11,34.	— 2,274.
	— 0,15.		0,023.	6,67.	— 0,367.
	— 0,29.		0,086.	0,02.	0,044.
	0,30.	ххх.	0,089.	0,35.	— 0,088.
Сумма.	0,67.		13,880.	36,85.	— 4,593.

Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E (t)}, поделенное на фактическое значение Y (t) и выраженное в процентах 100%* abs{E (t)}/ Y (t) в среднем не превышает 5%. E_отн. = 1,53%, что не превышает 5%.

Следовательно, условие точности выполнено.

Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E (t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (табл. 1.5) проводим на основе критерия поворотных точек.

Для этого каждый уровень ряда Е (t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и для этой строки ставится 1, в противном случае ставится 0. В первой и в последней строке ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=10.

Рассчитаем значение q:

Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.

Так как количество поворотных точек р=10 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d₁=1,10 и d₂=1,37):

Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:

• 1,10 < 1,35 < 1,37 — критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда. В этом случае проверим независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции.
• 2) по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения < r_табл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень r_табл. = 0,32. Имеем: =0,33 > r_табл. = 0,32 — значит уровни зависимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:

.

где — максимальное значение уровней ряда остатков ;

— минимальное значение уровней ряда остатков ;

S — среднее квадратическое отклонение.

;

Так как 3,00 < 3,77 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения и (см. табл. 1.4) по формуле:

.

где k — период упреждения;

— расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

— коэффициенты модели;

— значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

— период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Y_p(t) для: t = 17, 18, 19 и 20.

На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис. 1 Сопоставление расчетных (ряд 1) и фактических (ряд 2) данных

мультипликативный сглаживание скользящий индекс В таблице 2.1 даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R, % К, % D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 2.1

Дни.	Цены.
	макс.	мин.	закр.

Решение:

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:

,

где k = 2 / (n + 1),

— цена закрытия t-го дня;

— значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад :

где — цена закрытия t-го дня.

— значение МОМ текущего дня t.

Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:

где — цена закрытия t-го дня.

— значение ROC текущего дня t.

Результаты расчетов представим в таблице (табл. 2.2).

Дни.	Цены.	ЕМАt	МОМt	ROCt
	макс.	мин.	закр.
				720,4.	;	;
				723,6.	;	;
				722,9 454 545.	;	;
				720,9 553 719.	;	;
				721,3 271 225.	;	;
				725,4 494 638.		104,06.
				745,3 677 431.		113,14.
				760,2 099 717.		114,86.
				774,3 536 132.		117,7.
				773,165 926.		106,09.

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:

.

Расчеты представим в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Дни.	Цены закрытия.	Изменение. (+/-).	RSI.
		;	;
			;
		— 18.	;
		— 8.	;
			;
			67,90 123.
			82,55 034.
		— 8.	88,48 921.
			94,3662.
		— 71.	60,89 109.

Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:

.

.

Индекс %D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины и сглаживают, беря их трехдневную сумму.

Результаты расчетов представим в таблице 2.4.

Дни.	Цены.	%Кt	%Rt	%Dt
	макс.	мин.	закр.
					;
				;	;
				;	;
				;	;
				44,89 795 918.	55,1 020 408.
				87,5.	12,5.
						85,65 217 391.
				72,25 433 526.	27,7 456 647.	84,74 576 271.
				78,61 271 676.	21,3 872 832.	82,25 469 729.
				32,754 717.	67,9 245 283.	61,78 217 822.