Законы Бора. 
Дискретность динамических переменных классической физики

Необходимое вступление по поводу терминологии

Предположения Бора часто неудачно называют постулатами. Всем со школьных лет известны постулаты евклидовой геометрии, то есть положения, принимаемые без доказательств, из которых с помощью законов формальной логики выводятся теоремы. При этом единственное требование, предъявляемое в настоящее время^[1] к системе постулатов, лежащих в основе разделов математики — их взаимная непротиворечивость²⁶.

Математики же долгое время считали, что теории, развиваемые на основе неопределяемых понятий, постулатов и правил формальной логики, описывают законы реального мира. На самом же деле оказалось, что, вообще говоря, за математикой никакой реальности не стоит.

Такое осознание пришло после создания Лобачевским непротиворечивой геометрии, в которой пятый постулат евклидовой геометрии (постулат о параллельных, утверждающий, что через точку вне прямой проходит только одна прямая, не пересекающая заданную) был заменен постулатом о том, что через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей заданную. А затем было создано бесчисленное количество различных геометрий, отличных и от евклидовой геометрии, и от геометрии Лобачевского, и возник вопрос, какая же геометрия описывает реальный мир, который единственен.

Другими словами, выбор геометрии, описывающей доступное человечеству пространство, есть вопрос опыта, и не может быть решен средствами одной только математики^2,. Последнее означает, что математика является таким продуктом человеческого разума (использующего неприемлемое для физики понятие актуальной бесконечности), в котором критерий истинности опирается не на опыт, как в естественных науках, а лежит внутри самой математики.

Законы природы устанавливаются естествознанием и, в частности, физикой, которая начинается не с неопределяемых понятий и постулатов, а с определяемых процедур и эталонов (единицы длины, времени, массы и процедуры измерения длин, промежутков времени и масс).

И рабочими инструментами физики являются не постулаты, а гипотезы, то есть предположения, правильность выводов из которых подтверждает (или не подтверждает) эксперимент. Если гипотеза подтверждена, то она переходит в разряд законов, каковой и остается до тех пор, пока не проводится эксперимент,^[2]

опровергающий закон. В последнем случае в новое время речь идет, как правило, об уточнении области применимости закона, как это произошло с механикой Ньютона, уточненной в релятивистской области.

И все же все основные результаты физики сформулированы на математическом языке. Фактически физика верифицирует те математические результаты, которые используются в физических построениях, подтверждаемых опытом. Настоящее разъяснение, таким образом, не служит целям дискредитации математики или умаления ее значения. Математика с давних пор доказала свою эффективность в области естествознания, но все же специалист-естественник должен понимать разницу между математикой и естествознанием, в которых критерии истинности — разные.

Так, еще древнегреческие математики пришли к выводу о непрерывности неопределяемого пространства (состоящего из неопределяемых точек), обнаружив, что сторона и диагональ квадрата несоизмеримы. Для математика это — непреложный вывод из системы постулатов, то есть истина.

Для физика вывод о непрерывности пространства-времени — не более, чем гипотеза, нуждающаяся в экспериментальной проверке. На сегодняшний день нет каких-либо экснериментачьных фактов, указывающих на дисщхггность пространства-времени, так как существующие теории исходят из непрерывности пространства-времени и оправдываются экснериментачьно.

Неизвестно, будут или нет в будущем обнаружены новые эксперимента! ьные факты, свидетельствующие в пользу дискретности пространства-времени, а ведь последнее не исключено. Но если в будущем и будет обнаружена дискретность пространствавремени, это не поколеблет существующие теории, а лишь уточнит область их действия.

Гипотезы Бора — объяснение происхождения линейчатых спектров испускания и поглощения Гипотезы Бора, сформулированные в 1913 года современники называчи смелыми, дерзкими, иногда — дикими. Сегодня гипотезы Бора кажутся совершенно естественными, отвечающими ¹¹ решению задачи в форме ответа", то есть просто констатирующими эмпирическую реальность, и это затрудняет понимание вклада Бора в развитие квантовой физики.

Именно гипотезы Бора позволили понять механизм возникновения линейчатых спектров испускания и поглощения и наметить пути развития квантовой теории, описывающей поведение вещества на микроуровне.

Первоначально новый комплекс идей Бор опубликовал в статье 1913 года «О строении атомов и молекул», однако ниже даны формулировки Бора из его статьи 1915 года «О квантовой теории излучения и структуре атома» .

«А. Атомная система обладает состояниями, в которых не происходит излучения, связанного с потерей энергии… Такие состояния называются «стационарными» состояниями рассматриваемой системы.

В. Любое испускание или поглощение энергии будет соответствовать переходу между двумя стационарными состояниями. Излучение при таком переходе обладает определенной частотой, которая определяется соотношением.

где h — постоянная Планка, ? и ?2 — значения энергии системы в двух стационарных состояниях".

Всюду далее в настоящем разделе речь идет о свободных атомах. Энергия свободного атома складывается из внутренней энергии и кинетической энергии движения, принимающей произвольные неотрицательные значения. Из контекста работы Бора ясно, что под термином «энергия системы в стационарном состоянии» он имел в виду внутреннюю энергию атома²*.

В гипотезе, А утверждается, что существуют состояния атома, для которых законы классической электродинамики не действуют, и электрон энергию не излучает. Это — просто констатация факта устойчивого существования окружающего мира, в котором вещество состоит из молекул, составленных, в свою очередь, из атомов. К этому следует добавить, что истинно стационарным состоянием атома является только одно, основное состояние с минимальной внутренней энергией ?, в котором атом может пребывать неопределенно долго, если только внешние воздействия не выведут атом из основного состояния.^[3]

При внешнем воздействии атом может переходить в ряд других состояний с ббльшими внутренними энергиями г = 2,3,… (возбужденные состояния), в которых, однако, может существовать лишь малое (с макроскопической точки зрения) время (типичное время жизни атомов в возбужденных состояниях порядка 10^-8 с), после чего вновь возвращается в основное состояние. Следует также добавить, что энергия возбужденных «стационарных» состояний^[4][5] не имеет единственного дискретного значения^jU, а может принимать любые значения в пределах весьма малого интервала ?_г± Д?;, где Д?; «|?-|, г ^ 2. Для возбужденного квазистационарного состояния типичное значение Д^/?, — порядка 10 .

Оперируя понятием внутренней энергии любой системы, следует четко понимать, что эта величина определяется с точностью до константы. Применительно к внутренней энергии атома эта константа фиксируется следующим соглашением: для удаления из атома одного электрона необходимо совершить положительную работу (энергию ионизации атома). Считая, что атом после удаления электрона превращается в систему «положительно заряженный ион плюс электрон», которые удалены друг от друга «бесконечно далеко» и покоятся, и считая, что внутренняя энергия системы неподвижных «положительно заряженного иона и электрона» равна нулю, фиксируют тем самым величину внутренней энергии атома^[6], которая, очевидно, при таком выборе должна быть отрицательной: <0, г = 1,2,…

Вторая гипотеза Бора В носила еще более революционный характер, чем первая. Действительно, в соответствии с гипотезой В частота испускаемого излучения определялась не частотой периодического движения заряженной частицы (электрона) — источника излучения, а разностью энергий двух квазистационарных состояний.

Являясь активным противником фотонной теории Эйнштейна вплоть до 1924 года, Бор полагал, что атомы испускают электромагнитное монохроматического излучение, описываемое максвелловской электродинамикой, а уравнение (4.12) позволяет вычислить порцию энергии и частоту излучения, испускаемого атомом в течение времени перехода между квазистационарными состояниями.

Однако события, описанные в гл. З (см., особенно, подраздел 3.3.2), привели к безоговорочному признанию фотонной теории, в рамках которой, в частности, было доказано, что в элементарных актах с участием фотона выполняются законы сохранения энергии и импульса. Это привело к уточнению как смысла гипотезы Бора В, так и уравнения (4.12), которое не учитывало наличия у фотона импульса.

Действительно, атом может поглотить или испустить не монохроматическое излучение, а фотон, энергия которого, как известно, равна hv, а импульс — hvjc. Допустим, покоящийся атом находится в одном из «возбужденных» квазистационарных состояний с энергией 8_п и, испуская фотон, переходит в основное или другое квазистационарное состояние с энергией Е_т < ?_п. Теперь уже говорить о промежутке времени, в течение которого испускается излучение, не приходится. Речь идет о коа птозом скачке, сопровождаемом рождением фотона. Но если испущен фотон энергии hv, то он уносит с собой импульс величины hvjc. Импульс гой же величины (но противоположно направленный), то есть импульс отдачи (как при выстреле из орудия), обязан приобрести и атом.

Пусть масса атома М. Тогда из уравнения Mv = hvjc можно определить скорость отдачи атома и кинетическую энергию отдачи Ми²/2 = (hvj²/(2Мс²). Из закона же сохранения энергии следует, что.

то есть что за счет уменьшения внутренней энергии атома (правая часть) рождается фотон, уносящий энергию /м/, а атом приобретает кинетическую энергию отдачи.

Однако в области ультрафиолетового, видимого и инфракрасного излучений кинетической энергией отдачи атома можно пренебречь по сравнению с энергией фотона, если вспомнить, что максимальная энергия ультрафиолетового фотона есть 100 эВ, а энергия покоя Мс² самого легкого атома — атома водорода — составляет приблизительно 939 МэВ = 9.39 • 10^s эВ.

Бели же в уравнении (4.13) пренебречь кинетической энергией отдачи атома, то и получится правило частот Бора (4.12).

Тем не менее, в форме (4.13) вторая гипотеза Бора есть не загадочное «правило частот», а закон сохранения энергии, записанный для покоившегося атома, испустившего фотон. Пусть и на ничтожно малую величину, но принципиально энергия испущенного фотона меньше разности энергий двух квазистационарных состояний атома. Аналогичное рассмотрение процесса поглощения фотона неподвижным атомом ведет к уравнению.

говорящему о том, что энергия поглощенного атомом фотона тратится, во-первых, на повышение энергии атома на величину ?_п — Е_т и, во-вторых, на кинетическую энергию отдачи атома. Вновь последней величиной можно пренебречь, получив правило частот Бора. Но принципиально энергия поглощенного фотона должна быть больше разности между уровнями энергии двух квазистационарных состояний атома.

С современной точки зрения главным следствием гипотез Бора следует считать объяснение природы возникновения линейчатых спектров испускания и поглощения атомов. Линейчатость спектров вывивается тем обстоятельством, что атомы могут находиться в состояниях не с любой внутренней энергией, а лишь с вполне определенными дискретными значениями энергии, переходы между которыми и вызывают испускание или поглощение фотона.

При этом сразу прояснился и смысл термов, открытых Ритцем, и комбинационный принцип, надежно эмпирически подтвержденный спектроскопистами.

В самом деле, выражая испускаемую или поглощаемую атомом частоту излучения через длину волны, получаем.

Сравнивая последнее уравнение с формулировкой комбинационного принципа (4.6), убеждаемся, что.

Оказалось, что система термов данного атома определяется допустимыми уровнями внутренней энергии атома, при этом максимальному терму Т соответствует минимально возможная энергия основного состояния атома ?. Последовательность возможных уровней энергии — возрастающая (с пределом в нуле), a rei>- мов — убывающая.

Следовательно, знание спектроскопических термов дает возможность определять возможные значения энергии атомов. Например, термы атома водорода задаются формулой Бальмера (4.5), и возможные значения внутренней энергии атома водорода онределяются 11оследовательностью.

Рис. 4.8. Простейшая схема уровней внутренней энергии атома водорода с первыми тремя сериями лннейчатого спектра.

Простейшая схема уровней энергии атома водорода изображена на рис. 4.8.

На правой оси указаны значения энергии (в эВ). Подставляя значения постоянных Ридберга /?, Планка h и скорости света с в формулу (4.17) при п=1, получим энергию основного состояния атома водорода ? = -13.6 эВ.

Слева для удобства показаны энергия (в эВ), отсчитанная от уровня энергии основного состояния. По этой шкале легче ориентироваться. Первое возбужденное состояние будет выше основного примерно на 10.2 эВ, еще выше идет второе возбужденное состояние, и так далее.

На схеме вертикальными линиями показаны переходы между уровнями энергии атома водорода (соответствующие длины волн указаны в нанометрах), отвечающие за возникновение спектральных серий. Так, переходы в основное состояние со всех вышележащих уровней дают серию Лаймана, по свойствам аналогичную главной серии испускания щелочных металлов. Как видно, серия Лаймана лежит в области вакуумного ультрафиолета.

Переходы на второй уровень со всех вышележащих дают серию Бальмера, первые четыре линии которой лежат в видимом диапазоне, а остальные — в ближнем ультрафиолете. В спектре солнечных протуберанцев обнаруживается более 30 линий серии Бальмера.

Переходы на третий уровень со всех вышележащих дают серию Пашена, лежащую в инфракрасном диапазоне. Не показаны серии Брэкета и Пфунда.

Если возбужденный атом испускает фотон, то возникают спектры испускания, а если поглощает — то возникают спектры поглощения. Поскольку возможны процессы перехода атома в любое из возбужденных квазистациоиарных состояний, то и спектры испускания обычно содержат много линий, отвечающих всем возможным переходам между уровнями. Если же изучаются спектры поглощения, то первоначально атомы находятся в основном состоянии, поэтому спектры поглощения фактически дают лишь главную серию, отвечающую переходу атома из основного состояния во все возможные вышележащие. Последнее позволяет понять, как были открыты различные серии в спектрах.

Поистине революционные гипотезы Бора, объяснившие загадку происхождения линейчатых спектров испускания и поглощения, породили новые нелегкие вопросы, сразу же сформулированные Резерфордом — гениальным экспериментатором, мыслившим конкретными классическими образами. Уже упоминавшуюся статью «О строении атомов и молекул» Бор направил Резерфорду, который должен был рекомендовать статью к печати.

Резерфорд прочел работу с «большим интересом», и, отметив «непомерную длинноту» статьи, немедленно задал Бору вопрос: «как решает электрон — с какою частотой должен он колебаться, когда происходит переход из одного разрешенного состояния в другое? Мне кажется, Вы будете вынуждены допустить, что электрон заранее знает, где он собирается остановиться…» .

В первой части вопроса Резерфорд исходил из представления о классическом механизме излучения, предполагающего, что электромагнитное излучение частоты и должно генерироваться электроном, колеблющимся с той же частотой и. Теперь ясно, что электрон не колеблется, так как процесс излучения есть квантовый скачок в состоянии атома, сопровождаемый появлением фотона. Но вот вторая часть вопроса Резерфорда подразумевает следующее: как атом «решает», в какое из нижних квазистационарных состояний он перейдет? Допустим, атом находится в третьем квазистационарном состоянии, из которого он сразу может перейти в первое (основное) состояние, а может сначала перейти во второе состояние, а затем уже в первое, последовательно испустив два фотона.

Резерфорд интуитивно нащупал проблему, разрешение которой было начато Эйнштейном в 191G году, а окончательно завершено в рамках квантовой механики, основы которой были сформулированы в 192G году и подтвердили выводы Эйнштейна. Правда, проблема оказалась решена вовсе не так, как того хотелось бы Резерфорду и другим физикам (к числу которых впоследствии присоединился и сам Эйнштейн), желавшим сохранения классической наглядности в физических законах.

• [1] Раньше считалось, что система постулатов должна быть полной, тоесть что может быть установлена истинность или ложность любого логически правильно сформулированного утверждения. Например, утверждение (в рамках евклидовой планиметрии) о том, что сумма углов в треугольникеесть тг — истинно (и это утверждение после его формального вывода из системы постулатов становится теоремой), а утверждение о том, что «длинаодной стороны треугольника больше суммы длин двух остальных сторон того же треугольника» — ложно. Однако в 1931 год}' американский математикГёдель доказал так называемую теорему о неполноте, которая утверждает, что в рамках принятых систем аксиом всегда можно сформулировать неразрешимое суждение, то есть такое утверждение, что из аксиом не следует нитого, что это утверждение истинно, ни того, что это утверждение ложно. Неразрешимое суждение (или его отрицание!) можно добавить к первоначальной системе постулатов, получив уже две разных расширенных системы, которые вновь окажутся неполными, их вновь можно будет расширить, и так далее до бесконечности.
• [2] Математический анализ, основанный на канторовской теории множеств, противоречив. Проблема кроется в понятии актуальной бесконечности, включенном в систему математических постулатов, или аксиом. См. по этому поводу: Клайн М. «Математика. Утрата определенности». М., Мир, 1984.448 с.? ' В соответствии с созданной в 1916 году Эйнштейном и впоследствии экспериментально подтвержденной общей теорией относительности, свойствапространства-времени определяются распределением масс, и вопрос о геометрических свойствах пространства должен ставиться локально.
• [3] К внутренней энергии атома, кроме энергии электронной оболочки, следует причислять внутреннюю энергию ядра, а также энергию покоя ядраи электронов. В области явлений, изучаемых атомной физикой, ядро атома невозбуждено (находится в основном состоянии), поэтому внутриядерную энергию и, тем более, энергию покоя исключают из рассмотрения. Подвнутренней энергией атома будем понимать энергию электронной подсистемы (зависящую от спина ядра, о чем будет рассказано далее).
• [4] «Стационарное» состояние, существующее ДО-8 с — не очень удачныйтермин. Теперь состояния, в которых могут существовать атомы, более правильно называются квазистационарнглми, а иногда — разрешенными.
• [5] Энергия основного состояния атома, нс подверженного внешним воздействиям, строго дискретна.
• [6] Физический смысл такой фиксации прозрачен: энергия основного состояния Si становится равной взятой с обратным знаком энергии ионизации атома.