Метод подобия и гомотетии

• 8.1. В данный треугольник вписать другой треугольник со сторонами, соответственно перпендикулярными сторонам данного треугольника.
• 8.2. В данный треугольник АВС вписать прямоугольник с данным углом ф между диагоналями так, чтобы одна из сторон прямоугольника лежала на основании АВ, а две вершины противоположной стороны прямоугольника по одной лежали бы на боковых сторонах АС и ВС треугольника.
• 8.3. В данный треугольник АВС вписать две равные окружности так, чтобы каждая из них касалась другой окружности и двух сторон треугольника.

Указание. В треугольник АОС, где О — точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника АВС, вписать прямоугольник с отношением сторон 2:1.

• 8.4. Дан острый угол АОВ и точка М внутри него. Построить окружность с центром на стороне угла АО, касающуюся другой стороны угла и проходящую через точку М.
• 8.5. Даны угол ВАС и окружность О (г). Построить окружность, касающуюся сторон данного угла и данной окружности.

Указание. Допустим, что задача решена и S — точка касания искомой и данной окружностей. Тогда данная и искомая окружности гомотетичны с центром гомотетии в точке S. В этой гомотетии сторона АВ (касательная к искомой окружности) перейдет в А’В' — касательную к данной окружности (АВ || А’В'), АС перейдет в А’С; при этом точка, А перейдет в точку А'; центр гомотетии S определится как пересечение.

SA

SA'

прямой АА' с данной окружностью; коэффициент гомотетии к =

8.6. Построить образы данных лучей при гомотетии с центром в дан;

3 1.

ной точке и к = —; —.

• 2 2
• 8.7. Построить образы данных углов при гомотетии с центром в дан-

1 ₀

ной точке и к = —. За центр гомотетии взять точку: а) принадлежащую углу; б) вершине угла; в) не принадлежащую углу.

8.8. Построить образы данных отрезков при гомотетии с центром.

3.

в данной точке и к = -1.

8.9. Построить образ данного треугольника при гомотетии с цен;

1.

тром в точке пересечения его медиан и /с = -—.

• 8.10. Построить треугольник и его образ при отображении, являющемся композицией гомотетии с центром в данной точке и поворота вокруг вершины данного треугольника на 45°.
• 8.11. Даны квадрат ABCD и произвольная точку О. Построить образ квадрата при отображении F = Hq о S_oc.
• 8.12. Построить образ фигуры (рис. П.5) при гомотетии с коэффициентом, равным 2. За центр гомотетии взять: а) точку О; б) точку Е. Каково взаимное расположение полученных фигур?
• 8.13. Известно, что ломаная АСВ является подмножеством образа фигуры MPQDF при гомотетии с центром в точке О (рис. П.6). Достроить ломаную АСВ до образа фигуры MPQDF.

Рис. П.5

Рис. П.6

• 8.14. Построить образ окружности при гомотетии с к = 1,5. За центр гомотетии взять: а) точку окружности; б) центр окружности; в) точку, не принадлежащую окружности.
• 8.15. Дан произвольный четырехугольник ABCD. Отметить произвольную точку A j и построить образ этого четырехугольника при гомотетии, обращающей точку А на точку А_1; с коэффициентом гомотетии к = 1,5.
• 8.16. В треугольник АВС вписать равнобедренный прямоугольный треугольник МНР так, чтобы точки М, Н, Р были точками сторон АВ, ВС и АС соответственно, a ZMHP был равен 90°.
• 8.17. В данный треугольник вписать прямоугольник с данным соотношением сторон так, чтобы две его вершины принадлежали разным сторонам треугольника, а две другие лежали на третьей.
• 8.18. Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и: а) сумме основания и высоты; б) высоте; в) основанию; г) сумме основания и боковой стороны.
• 8.19. Построить треугольник по двум углам и: а) медиане; б) высоте; в) биссектрисе; г) периметру; д) сумме медиан; е) сумме стороны и высоты к этой стороне.
• 8.20. Построить треугольник по углу, высоте из вершины этого угла и отношению отрезков, на которые данная высота делит основание треугольника.
• 8.21. Вписать в данную окружность равнобедренный треугольник, у которого известно отношение боковой стороны к основанию.
• 8.22. Построить четырехугольник с данными углами, отношением двух смежных сторон и периметром.
• 8.23. В данном круге через данную внутри него точку А провести хорду так, чтобы она точкой А разделилась в данном отношении.
• 8.24. Через точку вне круга провести секущую, внешняя часть которой вдвое больше внутренней.
• 8.25. Построить вписываемый в окружность четырехугольник, если известны один его угол, отношение заключающих его сторон и диагонали.