Действительные числа. 
Математика

Напомним, что возведение в степень имеет две обратные операции: извлечение корня и логарифмирование.

Пример 1.6.

Соотношение З² = 9 позволяет написать три уравнения: Решение

В первом из уравнений неизвестна степень, во втором — основание степени, в третьем — показатель степени.

Первое уравнение, по определению, решается умножением:

Второе уравнение решается извлечением квадратного корня из 9:

Третье уравнение решается логарифмированием числа 9 но основанию 3:

В этом примере для решения всех трех уравнений «достаточно» множества рациональных (и даже натуральных) чисел, но так бывает далеко не всегда. Для уравнений: х² = 2,.

2^х = 3 формальная запись результатов: х = л/2, х = log₂ 3 (аналогичная приведенным выше записям) не имеет смысла на множестве рациональных чисел. Убедимся, например, в том, что среди рациональных чисел нет числа, которое мы обозначили л/2. Предположим противное, т. е.: Я = т>

О

где а е N, b е N и дробь — — несократима. Тогда а = bJ2.

и а² = 2Ь², т. е. а² — четное число. Но тогда и число а — четное: а = 2n, (п е N). Поэтому а² = 4п² и Ь² = 2п², т. е. число b² и, следовательно, b также четные числа.

Но если числа а Ь — четные, то дробь — можно сокра;

b

о, а тить на 2, а это противоречит условию, что — — несократимая дробь.

Итак, среди рациональных чисел нет корня уравнения х² = 2. Между тем здравый смысл подсказывает, что это уравнение должно иметь корень! Посмотрим на геометрические задачи, приводящие к этому выводу.

Пример 1.7.

Диагональ х квадрата со стороной а удовлетворяет, по теореме Пифагора, уравнению:

Поэтому при а = 1 приходим к уравнению х² = 2.

Пример 1.8.

Площадь S квадрата со стороной а находится по формуле: S = а². Какова сторона х квадрата, площадь S которого равна 2?

Решение

Имеем х² = 2.

Таким образом, из геометрических соображений заключаем, что «в природе» должно быть число, удовлетворяющее уравнению х² = 2. Это число называется иррациональным. Также иррациональны корни уравнений: х² = 3, Jf³ = 5 и т. п. Эти иррациональные числа называются алгебраическими.

Корень уравнения 2^х = 3, обозначаемый: х = log₂3, также является иррациональным числом. Это число и аналогичные ему иррациональные корни уравнений: 2^х = 5, З^г = 4 и тому подобные называются трансцендентными числами.

Число л, выражающее отношение длины / окружности с радиусом R к диаметру d = 2R, также является трансцендентным: л = — (л" 3,14).

2 R

Пополнение множества Q рациональных чисел иррациональными числами (двоякой природы) приводит к множеству действительных чисел, обычно его обозначают R. Это основное числовое множество, с которым имеет дело математика.

Замечание. Термины «рациональное» {разумно обоснованное), «иррациональное» {недоступно пониманию), «трансцендентное» {выходящее за пределы сознания) происходят от латинских корней. Они встречаются и в обиходной речи: «рациональное предложение», «нерациональный путь достижения целей» и т. д.