Модель ценообразования опционов Блэка — Шоулза

Формула Блэка — Шоулза для оценки опциона является одним из наиболее знаменитых достижений современной финансовой теории и широко используется торговцами опционами на практике.

Формула Блэка — Шоулза основывается на ряде упрощающих предположений, главными из которых являются: отсутствие трансакционных затрат и налогов, постоянство процентных ставок и нормальное распределение доходности базового актива, бесконечная делимость активов.

Вывод формулы основывается на концепции безрискового хеджа. Покупая акции и одновременно продавая колл-опционы на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот. Безрисковая хеджевая позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется моделью ценообразования опционов.

Модель Блэка — Шоулза состоит из следующих формул:

где V — текущая стоимость колл-опциона в момент t до истечения срока опциона; Р — текущая цена базисного актива;

N (dj) — вероятность того, что отклонение будет меньше d_] в условиях стандартного нормального распределения; X — цена исполнения опциона; к^— безрисковая процентная ставка; t — время до истечения срока опциона; а² — вариация доходности базисного актива.

Модель Блэка — Шоулза достаточно проста в использовании, широко используется в торговле опционами, а потому фактические цены опционов довольно хорошо приспосабливаются к ценам, получаемым из модели.

Приведем учебный пример использования модели Блэка — Шоулза.

Предположим, что получена следующая информация: текущая рыночная цена акции Р = 100 ден. ед., цена исполнения опциона X = 120 ден. ед.; эффективная ставка по краткосрочным дисконтным государственным облигациям i = 20%; время до истечения срока опциона t = 0,75 года; дисперсия годовой доходности ст² = 18,48% (а = 43%).

Безрисковая ставка доходности к^ равна.

Параметры:

Окончательно получим, что стоимость нашего опциона равна

Формула Блэка — Шоулза устанавливает зависимость стоимости опциона от пяти основных параметров: t, Р, X, к^иа. Для инвестора важно знать, как изменится стоимость опциона в ответ на изменение этих параметров. Для этого рассчитываются следующие показатели: тета опциона: 0v = dV / dt, дельта опциона: 6v = dV / дР, лямбда опциона: Xv = dV / да².

Очевидно, что все эти величины положительны, т. е. увеличение времени до выполнения, цены и дисперсии доходности повышают стоимость опциона. Чем больше эти величины, тем более рискован опцион для продавца.

Для нашего условного примера тета, дельта и лямбда равны соответственно:

Таким образом, стоимость опциона при увеличении времени до выполнения на один год увеличится приблизительно на 4 ден. ед., при росте текущей цены акции на 1 ден. ед. стоимость опциона возрастет на 0,34 ден. ед. и при увеличении дисперсии доходности акции на 0,1 стоимость возрастет примерно на 2,27 ден. ед.

Цена опциона и финансовая политика фирмы. Как собственный, так и заемный капитал фирмы могут рассматриваться в рамках теории опционов. Собственный капитал финансово зависимой фирмы может рассматриваться как колл-опцион: когда фирма эмитирует долговые обязательства, это эквивалентно тому, что акционеры, с одной стороны, продают активы фирмы кредиторам, которые платят за активы наличностью, и, с другой стороны, дают акционерам подразумеваемый колл-опцион с ценой исполнения, равной стоимости основного долга плюс процент. Если деятельность компании успешна, акционеры будут «выкупать компанию обратно» исполнением своих колл-опционов, которые означают погашение суммы долга и выплату процентов. Если деятельность компании не является успешной, акционеры не погасят ссуду, что приведет к неисполнению их колл-опциона и, следовательно, переходу компании в руки кредиторов.