Смешанные пуассоновские распределения для моделирования числа страховых случаев
Сравнение х? и6л = 0,806 и ??? (а = 0,05; v = 9 — 2 — 1=6) = = 12,592 показало, что x, laft;l < ?^???, поэтому проверяемая гипотеза не отвергается, т. е. отрицательная биномиальная модель признается адекватной и достаточно точно отражает распределение числа поступивших исков. Отрицательная биномиальная модель, принятая на таком уровне надежности, может быть использована для проведения актуарных… Читать ещё >
Смешанные пуассоновские распределения для моделирования числа страховых случаев (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
На практике параметр Пуассоновского распределения? оказывается часто непостоянным по следующим причинам:
- • различие параметров пуассоновского распределения у разных страхователей при моделировании количества случаев в индивидуальных моделях;
- • различие параметра для разных лет в портфеле с одинаковыми рисками в случае коллективной модели (погодные условия, экономическая конъюнктура и др.) (например, при страховании автомобиля от аварии интенсивность зависит от количества дней с плохой погодой и не является константой).
В этом случае возникает проблема ввода дополнительной случайной величины , отвечающей за изменение параметра? и отражающей неоднородность портфеля (в первом случае) или служащей для моделирования ежегодно меняющихся внешних воздействий в однородном портфеле коллективной модели (во втором случае).
независимые одинаково распределенные случайные величины, характеризующие индивидуальность страхователя в первом случае и «качество года» во втором. Распределение называется смешивающим распределением и выступает мерой неоднородности портфеля.
Жан Лемер (Jean Lemaire)[1], Томас Мак (Thomas Mack)[2] предлагают для учета разнородности страхователей использовать некую функцию, называемую структурной функцией и (Х), которая приводит к так называемому смешанному (составному, сложному) пуассоновскому распределению (compound Poisson distribution).
Итак, предположим, что распределение числа страховых случаев на счету каждого застрахованного имеет пуассоновское распределение:
Причем каждый страхователь характеризуется своим значением ?, что позволяет учесть неоднородность рисков.
Дискретная случайная величина К имеет смешанный закон распределения Пуассона, если она принимает значения с параметром-функцией с вероятностями:
(3.19).
где - плотность распределения случайной величины (структурная функция).
На практике делается определенное предположение о виде смешивающего распределения, т. е. распределения случайной величины
В качестве структурной или смешивающей функции можно выбирать различные функции. Наиболее распространены в качестве смешивающего распределения и приводят в адекватным результатам:
- — гамма-распределение;
- — обратное гауссовское распределение.
Смешанное пуассоновское/гамма-распределение
В качестве моделирующей параметр Пуассона функции в актуарных расчетах часто используется гамма-распределение с параметрами а и b:
где - гамма-функция Эйлера, ,.
- натуральное число.
Его числовые характеристики:
Именно гамма-распределение хорошо описывает ситуацию, когда значения? колеблются вокруг некоторой величины, притом что как очень маленькие, так и очень большие значения? хоть и возможны, но маловероятны[3].
Распределение числа страховых случаев в портфеле (рк, } тогда приводится к следующему виду:
Если а — целое, то, учитывая, что :
Таким образом, мы пришли к отрицательной биномиальной модели вида (3.16):
с параметрами и числовыми характеристиками:
Вычисление вероятностей отрицательного биномиального распределения не требует таблицы значений гамма-функции. Последовательное использование свойства позволяет перейти к рекуррентной формуле:
(3.20).
при начальном значении.
(3.21).
Оценки параметров распределения по выборке с использованием метода моментов осуществляются по формулам:
(3.22).
ПРИМЕР 3.7[4]
Известно, что:
- 1) число страховых случаев К имеет распределение Пуассона со средним Л;
- 2) Л имеет гамма-распределение со средним 1 и дисперсией 2. Определите вероятность того, что К = 1 (в договоре произойдет 1 страховой случай).
Варианты ответов: а) 0,19; б) 0,24; в) 0,31; г) 0,34; д) 0,37. Решение
По условию задачи понятно, что случайная величина К имеет смешанное пуассоновское/гамма-распределение, которое приводится к отрицательному биномиальному распределению вида (3.16):
с параметрами:
где, а и b — параметры гамма-распределения, которые связаны с его математическим ожиданием и дисперсией формулами вида:
По условию
Отсюда параметры гамма-распределения:
Тогда.
Теперь, пользуясь формулой отрицательного биномиального распределения, можно найти искомую вероятность:
Следовательно, верный вариант ответа — а).
ПРИМЕР 3.8[5]
Исследуем портфель, состоящий из п = 2512 договоров, но страхованию автокаско. За год поступили иски по т = 888 договорам в связи со страховыми случаями. Число страховых случаев кk, произошедших по одному договору, варьировалось в изучаемом портфеле от 0 до 10 (см. таблицу).
Необходимо проверить, подходит ли смешанное пуассоновское / гамма-распределение (отрицательное биномиальное) для моделирования распределения числа страховых случаев в данном портфеле автокаско.
Решение
Найдем выборочные оценки параметров распределения числа страховых случаев в одном договоре (среднее значение):
и выборочную дисперсию.
Расчетная таблица имеет следующий вид:
Расчет выборочных оценок параметров распределения числа страховых случаев в одном договоре
k | ||||
п |
Итак, по результатам расчета оценок параметров распределения случайной величины К — числа страховых случаев в одном договоре, получаем:
- — выборочная средняя :
- — в одном договоре по портфелю происходит в течение года в среднем 0,658 страховых случаев;
- — выборочная дисперсия :
Проверка данного эмпирического распределения на закон Пуассона дала серьезное расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами и = 7,815. Таким образом, в рассматриваемом примере пуассоновское распределение не может служить адекватной моделью, эмпирическое распределение имеет длинный правый хвост — до 10 страховых случаев, нужно пробовать смешанные пуассоновские распределения. Итак, рассчитаем смешанное пуассоновское / гамма-распределение.
С учетом найденных выборочных характеристик, среднего и выборочной дисперсии вычислим оценки параметров гамма-распределения по (3.22):
Пользуясь рекуррентной формулой (3.20) и формулой для расчета вероятности нулевых выплат (3.21), рассчитываем теоретические частоты, результаты представим в таблице.
Расчет распределения числа исков в портфеле договоров автокаско с помощью отрицательного биномиального распределения (смешанного пуассоновского/гаммараспределения)
Число страховых случаев в договоре k | Эмпирические. | Теоретические (отриц. бином.). | |
частоты тк. | вероятности pkT. | частоты ткТ. | |
0,6434. | |||
0,1992. | |||
0,0836. | |||
0,0382. | |||
0,0181. | |||
0,0088. | |||
0,0043. | |||
0,0022. | |||
0,0011. | |||
0,0005. | |||
0,0003. | |||
Всего. | 1,000. |
Далее, в соответствии с требованиями критерия согласия Пирсона объединения интервалов с малыми теоретическими частотами, меньшими 5, наблюдения объединялись в группы, и вычислялось значение %211а6л.
Сравнение х? и6л = 0,806 и ??? (а = 0,05; v = 9 — 2 — 1=6) = = 12,592 показало, что x, laft;l < ?^???, поэтому проверяемая гипотеза не отвергается, т. е. отрицательная биномиальная модель признается адекватной и достаточно точно отражает распределение числа поступивших исков. Отрицательная биномиальная модель, принятая на таком уровне надежности, может быть использована для проведения актуарных расчетов.
Полученные результаты и согласованность эмпирического и отрицательного биномиального распределения наглядно проиллюстрированы графиком (рис. 3.5).
В работах Жана Лемера, Томаса Мака, И. А. Корнилова и других ученых отмечается успешное применение отрицательного биномиального распределения в подгонке числа страховых случаев для неоднородных портфелей. Приведем пример (краткие резуль;
Выборочное и теоретическое отрицательное биномиальное распределения числа страховых случаев и расчет статистики критерия согласия Пирсона
k | |||
0,0378. | |||
0,2190. | |||
0,0198. | |||
0,0481. | |||
0,1373. | |||
0,0367. | |||
0,0736. | |||
0,0339. | |||
>8. | 0,2. | ||
Сумма х2набл. | 0,8062. |
тэты расчетов) еще более неоднородного портфеля с гораздо более длинным правым хвостом.
Рис. 3.5. Моделирование числа исков по виду страхования автокаско с помощью отрицательного биномиального распределения.
ПРИМЕР 3.9
По страховому портфелю добровольного медицинского страхования, распределение числа страховых случаев в котором было приведено в качестве примера на рис. 3.4, в количестве п = 44 114 договоров были рассчитаны выборочные оценки параметров модели с использованием метода моментов по формулам (3.22):
Результаты расчета теоретических частот смешанного пуассоновского/гамма-распределения и их сравнения с эмпирическими частотами, наблюдаемыми по портфелю, приведены в таблице и на рис. 3.6.
В рассматриваемой модели (а = 0,05; v= 14) =23,685.
Следовательно, проверяемая гипотеза не отвергается на уровне значимости а = 0,05, и отрицательная биномиальная модель признается адекватной для аппроксимации распределения урегулированных убытков при моделировании числа страховых выплат в портфеле рисков по договорам медицинского страхования (ДМС).
Таблица и рис. 3.6 наглядно демонстрируют отличную согласованность изучаемой случайной величины числа страховых случаев с теоретическим смешанным пуассоновским/гамма-распределением.
Смешанное пуассоновское/обратное гауссовское распределение
Теперь изучим другой вариант смешанного пуассоновского распределения, который часто выдвигается как альтернатива отрицательному биномиальному распределению в актуарных расчетах[6] — пуассоновское/обратное гауссовское распределение.
Итак, еще один распространенный вариант смешанного закона Пуассона:
Эмпирические (тк) и теоретические (ткТ) частоты смешанного пуассоновского /гаммараспределения и проверка их согласия критерием Пирсона.
>16. | |||||||||||||||||
27 981. | |||||||||||||||||
27 680. | |||||||||||||||||
0,53. | 1,06. | 0,24. | 1,95. | 0,86. | 2,70. | 2,45. | 1,36. | 1,75. | 2,47. | 1,42. | 0,11. | 0,18. | 1,79. | 0,11. | 0,67. | 2,00. | |
Рис. 3.6. Эмпирические и теоретические (согласно отрицательному биномиальному распределению) частоты портфеля договоров ДМС.
— использование для величины в качестве структурной или смешивающей функции плотности вероятностей обратного гауссовского распределения с параметрами g и h.
Тогда получается смешанное Пуассоновское распределение, которое называется пуассоновским/обратным гауссовским распределением с числовыми характеристиками:
Выборочными оценками для параметров распределения g и h по методу моментов являются:
(3.23).
Вероятности пуассоновского/обратного гауссовского распределения могут быть вычислены рекуррентно:
(3.24).
Затем рассчитываются теоретические частоты и с помощью критерия согласия проверяется адекватность модели исследуемому портфелю.
ПРИМЕР 3.10
По данным примера 3.8 найдем выборочные оценки для параметров обратного гауссовского распределения g и h по методу моментов (3.23): g = 0,658; h = 1,126.
Рассчитаем по рекуррентным формулам (3.24) вероятности обратного гауссовского распределения. Результаты приведем в таблице.
Расчет модели распределения числа исков в портфеле договоров автокаско с помощью смешанного пуассоновского / обратного гауссовского распределения
Число страховых случаев в договоре k | Эмпирические. | Теоретические. | |
частоты mk. | вероятности pkT. | частоты ткт. | |
0,6252. | |||
0,2282. | |||
0,0812. | |||
0,0332. | |||
0,0153. | |||
0,0076. | |||
0,0040. | |||
0,0022. | |||
0,0013. | |||
0,0007. | |||
0,0004. | |||
Всего. | 1,000. |
В дальнейшем, по аналогии с предыдущими распределениями, наблюдения с теоретическими частотами, меньшими 5, объединялись в группы, и вычислялось значение у/, айл.
Расчет статистики критерия согласия Пирсона для смешанного пуассоновского / обратного гауссовского распределения числа страховых случаев
1,7 880 331. | |||
12,2 268 761. | |||
0,78 431 373. | |||
2,333 333 333. | |||
2,76 923 077. | |||
0,842 105 263. | |||
0,166 666 667. | |||
>8. | |||
Сумма ?2 аба. | 19,308. |
Сравнение у211айл =19,308 и ?2??? (а = 0,05; v = 9- 2- 1=6) = = 12,592 показало, что ?2?;?6? > ?2 ит, поэтому проверяемая гипотеза отвергается, т. е. обратное гауссовское распределение признается неадекватной моделью и недостаточно точно отражает распределение числа поступивших исков. Хотя, но значению статистики критерия согласия х2иаб, = 19,308 видно, что оно ненамного превышает критическое значение, и изучаемое распределение можно поставить на второе место в аппроксимации изучаемого распределения после отрицательной биномиальной модели.
ПРИМЕР 3.11
В другом исследованном портфеле страхования автокаско наилучшим оказалось как раз смешанное пуассоновское/обратное гауссовское распределение.
Кратко приведем только основные полученные результаты. Эмпирическое распределение, полученное с помощью СВОДНОЙ ТАБЛИЦЫ в Excel, представлено в таблице.
По выборочным характеристикам, полученным по портфелю, были найдены оценки параметров (3.23):
Далее по формуле (3.24) рассчитаны теоретические вероятности, а затем — частоты.
Расчет распределения числа исков в портфеле договоров автокаско для смешанного пуассоновского /обратного гауссовского распределения
Число страховых случаев в договоре k | Эмпирические. | Теоретические. | |
частоты тк. | вероятности pkT. | частоты mkT. | |
0,5467. | |||
0,2677. | |||
0,1066. | |||
0,0434. | |||
0,0188. | |||
0,0086. | |||
0,0041. | |||
0,0020. | |||
0,0010. | |||
0,53. | |||
0,28. | |||
0,15. | |||
0,8. | |||
п | 14 627. | 1,000. | 14 626. |
Далее, как это было сделано в предыдущих примерах, проверим соответствие модели при помощи критерия Пирсона. Выполним группировку и объединим 10-й, 11-й и 12-й интерваты так, чтобы значение теоретической частоты суммарное было больше либо равно 5. Результаты проверки гипотезы о соответствии полученного теоретического распределения эмпирическому.
Выборочное и теоретическое обратное гауссовское распределение числа страховых случаев и расчет статистики критерия согласия Пирсона
0,288. | |||
3,046. | |||
1,922. | |||
0,596. | |||
0,389. | |||
0,032. | |||
0,056. | |||
0,010. | |||
0,590. | |||
0,655. | |||
>10. | 1,286. | ||
8,87. |
где 11 — число интервалов (после объединения правого хвоста с малыми частотами); 2 — количество оцениваемых по выборке параметров.
Как показал критерий согласия, гипотеза о том, что распределение числа страховых случаев подчиняется обратному гауссовскому распределению, не отвергается. Следовательно, данное распределение адекватно отражает эмпирическое распределение, что подтверждает график (рис. 3.7).
Модель «хорошие/плохие риски» Лемера
Жан Лемер, профессор Университета Пенсильвании, известный бельгийский актуарий, один из крупнейших исследователей в европейском автомобильном страховании, предложил для расчета количества исков еще одну модель, которая относится к смешанным пуассоновским распределениям — модель «хорошие/плохие риски» [7]. В этой модели, разработанной для аппроксимации количества исков в портфеле договоров автострахования, предполагается, что существует две категории водителей с разным уровнем аварийности — " хорошие" (для моделирования которых вводится пуассоновское распределение с параметром ?1) и «плохие» .
Рис. 3.7. Моделирование числа исков по виду страхования автокаско с помощью смешанного пуассоновского / обратного гауссовского распределения.
водители (характеризуются значением параметра ?2). Смешивающее распределение Л здесь — двухточечное дискретное. Оценки теоретических вероятностей рассчитываются с помощью формулы.
(3.25).
где
Оценки параметров распределения по методу моментов рассчитываются по следующим формулам[3]:
(3.26).
(3.27).
где - начальные выборочные моменты 1-го, 2-го и 3-го соответственно порядка случайной величины К — числа страховых случаев, наступивших за год в одном договоре.
Далее рассчитываются теоретические частоты и с помощью критерия согласия проверяются на согласованность с эмпирическими.
ПРИМЕР 3.12
Проанализируем реальный портфель договоров страхования ОСАГО одной из крупных московских страховых компаний.
Сгруппировав все договоры по числу наступивших за год страховых случаев, получим следующее эмпирическое распределение числа исков:
Выборочное распределение числа поступивших исков К по договорам страхования ОСАГО
Количество исков k | ||||||
Количество договоров тк. | 105 925. |
Для нашего портфеля из 111 500 договоров рассчитаны следующие оценки параметров распределения по (3.26) и (3.27):
Рассчитанные выборочные оценки параметров распределения модели «хорошие/плохие риски»
а | b | С | |||
0,0565. | 0,0713. | 0,1069. | 0,0565. | 0,0148. | 0,0060. |
А | В | аг. | |||
0,4426. | 0,0102. | 0,0244. | 0,4182. | 0,9185. | 0,0815. |
Полученные результаты свидетельствуют о том, что доля «хороших» водителей в портфеле составляет около 91,85% и в среднем они попадают в 0,02 аварии в год. Остальные 8,15% - «плохие» водители, у них частота страхового случая составляет 0,42 аварии в год.
Для проведения дальнейшего анализа следует вычислить теоретические вероятности и частоты, подставляя найденные параметры в закон распределения Лемера (3.25):
В таблице представлены теоретические вероятности и частоты, рассчитанные по полученной формуле аппроксимирующего закона: Следует заметить, что доля «хороших» водителей намного больше, чем «плохих», что делает выбор модели Лемера вполне.
Число страховых случаев в договоре. k | Эмпирические. | Теоретические. | |
частоты mk. | вероятности ркт. | частоты mkT. | |
105 925. | 0,9500. | 105 925. | |
0,0443. | |||
0,0050. | |||
0,0007. | |||
0,0001. | |||
0,0000. | |||
Всего. | 111 500. | 1,000. | 111 500. |
адекватным. Кроме того, вероятность аварии в целом по портфелю достаточно мала.
Как можно заключить из рассмотренной таблицы и рис. 3.8, модель Лемера очень точно отражает распределение страховых случаев в одном договоре, так как расхождение в теоретических и эмпирических частотах минимально.
Проверим этот довод с помощью критерия Пирсона. Итак, (напомним, что по выборке оценивалось три параметра распределения в отличие от всех предыдущих моделей). Гипотеза не отвергается, а модель «хороших и плохих рисков» Лемера признается адекватной для аппроксимации распределения числа страховых слу;
Рис. 3.8. Моделирование числа исков по виду страхования ОСАГО с помощью модели Лемера «хорошие/плохие риски» .
чаев в портфеле ОСАГО. Такое редкое согласие между эмпирическими и теоретическими частотами напоминает, что модель была разработана Лемером именно для страхования автогражданской ответственности владельцев транспортных средств, и портфель страхования ОСАГО русской страховой компании оказался тоже подходящим этому распределению.
Представленная модель «хорошие/плохие риски» может быть использована для аппроксимации распределения числа урегулированных убытков во многих других видах страхования, где страхователей также можно разделить на группы с разной вероятностью наступления страхового случая.
ПРИМЕР 3.13
По данным примеров 3.8 и 3.10 рассчитаем модель Лемера.
Для исследуемого портфеля договоров страхования автокаско рассчитаны следующие оценки параметров распределения.
а | b | С | |||
0,658. | 1,833. | 7,4108. | 0,658. | 1,175. | 3,2269. |
А | В | ||||
3,3078. | 1.0028. | 0,3376. | 2,9702. | 0,8781. | 0,1219. |
Полученные оценки могут быть интерпретированы следующим образом: в рассматриваемый портфель договоров попало 87,81% (?]) «хороших» водителей, частота страховых случаев которых составляет 0,33 аварии в год (?,), и 12,19% «плохих» водителей, которые в год совершают в среднем 2,97 аварии.
Таким образом, вероятности смешанного пуассоновского распределения модели «хорошие риски/плохие риски» , аппроксимирующего распределение числа исков в исследуемом портфеле, будем рассчитывать по следующей формуле:
Результаты расчетов приведены в таблице.
Теперь с помощью критерия согласия ?2 проверим гипотезу об адекватности построенной модели.
Х2найл = 37,882 > ?2??? (а = 0,05;? = 8- 3−1=4) = 9,488 (обратите внимание — здесь мы по выборке оценивали три параметра — ?,? i, ?2), следовательно, гипотеза отвергается. Модель «хорошие риски /плохие риски» признается неадекватной для распределения урегулированных убытков.
Расчет распределения числа исков в портфеле договоров автокаско с помощью смешанного пуассоновского распределения модели «хорошие риски/плохие риски» (по Ж. Лемеру)
Число страховых случаев в договоре k | Эмпирические частоты тк. | Теоретические. (смеш. Пуассон, хор./плох. риски). | |
вероятности Рь | частоты ткТ. | ||
0,6328. | |||
0,2301. | |||
0,0633. | |||
0,0313. | |||
0.0206. | |||
0,0121. | |||
0,0060. | |||
0,0025. | |||
0,0009. | |||
0,0003. | |||
0.9. | |||
Всего. | 1,000. |
Выборочное и теоретическое смешанное пуассоновское распределение модели «хорошие/нлохие риски» числа страховых случаев и расчет статистики критерия согласия Пирсона
k | |||
0,749. | |||
13,401. | |||
15,125. | |||
4,751. | |||
0,275. | |||
1,761. | |||
1,654. | |||
>7. | 0,168. | ||
Сумма х2на6л. | 37,882. |
Результаты применения критерия согласия Пирсона, но всем исследованным распределениям (по результатам расчетов примеров 3.8, ЗЛО, 3.13) сведем в итоговую таблицу.
Результаты расчета статистики критерия согласия Пирсона для всех рассмотренных распределений, моделирующих число страховых случаев в одном договоре страхования автокаско
Вид распределения. | Пуассона. | Смешанное пуассоновское. | ||
Гамма. | Обратное гауссовское. | Модель Лемера. | ||
829,541. | 0,806. | 19,308. | 37,882. | |
7,815. | 12,592. | 12,592. | 9,488. | |
Гипотеза отвергается. | Гипотеза не отвергается. | Гипотеза отвергается. | Гипотеза отвергается. |
Кроме того приведем график (рис. 3.9), на котором видны все полученные результаты и какое теоретическое распределение как моделирует все частоты эмпирического.
Статистическое исследование и моделирование числа исков в рассмотренном портфеле договоров страхования позволили сделать вывод, что в исследуемой совокупности страховых договоров наиболее подходящей моделью нужно признать отрицательное биномиальное распределение, являющееся смешанным пуассоновским/гамма-распределением.
В актуарной литературе имеются работы, в которых рассматривались и другие смешанные пуассоновские модели[3].
Виллмот (Willmot) получил простую рекуррентную формулу, которая работает для широкого ряда непрерывных смешивающих распределений. В качестве смешивающих распределений он использовал бета-распределение, равномерное распределение, распределение Парето, а также обобщенное распределение Парето. Кроме того, он рассматривал отрицательное биномиальное распределение, пуассоновское бета-распределение и обобщенные гауссовские модели.
Альбрехт (Albrecht) рассматривал смеси пуассоновского распределения с такими распределениями, как семейство Пирсона, распределение Вейбулла, Парето, Бесселя, усеченное нормальное распределение, хи-квадрат и др. Он также.
Рис. 3.9. Моделирование числа исков по страхованию автокаско с помощью пуассоновского и трех смешанных пуассоновских распределений.
высказывал соображения в пользу дискретных смесей пуассоновских распределений.
Делапорте (Delaporte) впервые ввел, а Рюохонен (Ruohonen), Виллмот и Сундт (Sundt) продолжили изучение смешанного пуассоновского распределения со смешивающим распределением, которое является гамма-распределением со сдвигом с тремя параметрами. При таком подходе процесс наступления страховых случаев состоит из двух независимых компонент, пуассоновского процесса, который отражает общий вклад всех рисков, и отрицательного биномиального процесса, который отвечает за индивидуальный вклад определенного риска.
Трехпараметрическая смешанная пуассоновская модель Пейнджера (Panjer) является паскалевским обобщением пуассоновского распределения и содержит в качестве частных случаев отрицательное биномиальное распределение, распределение Пойа, неймановское типа, А и пуассоновское обратное гауссовское распределение.
- [1] Лемер Ж. Указ. соч. С. 50−61.
- [2] Мак Т. Указ. соч.
- [3] Лемер Ж. Указ. соч.
- [4] Course/Exam 3 — Actuarial models. The Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, May 2000.
- [5] Миронкина Ю. Н., Скорик М. А. К вопросу статистического исследования риска в автотранспортном страховании // Экономика, статистика и информатика. Вестник УМО. 2007. № 4. С. 60−67.
- [6] Лемер Ж. Системы бонус-малус в автомобильном страховании: пер. с англ. М.: Янус-К, 2003; Мак Т. Математика рискового страхования: пер. с нем. М.: Олимп-Бизнес, 2005.
- [7] Лемер Ж. Автомобильное страхование. Актуарные модели: пер. с англ. М.: Янус-К, 2003.
- [8] Лемер Ж. Указ. соч.
- [9] Лемер Ж. Указ. соч.