Обобщенный закон Гука и энергия формоизменения

Формулы относительных деформаций бруса, полученные выше для случая его центрального растяжения или сжатия, можно обобщить на случай объемного напряженного состояния. Для этого выделим из тела элементарный параллелепипед (с бесконечно малыми размерами ребер), грани которого совпадают с главными площадками (рис. 93).

Обозначим оо₂ и <�т₃ нормальные напряжения на главных площадках (т. е. главные напряжения), а е_ь е₂ и ?₃ — относительные деформации ребер параллелепипеда, параллельных этим напряжениям.

Рис. 93. Элемент, находящийся в объемном напряженном состоянии.

Значения ?_Ь е₂ и е₃ определим на основании принципа независимости действия сил, последовательно рассматривая влияние напряжений oj, а₂ и <�т₃.

В результате воздействия напряжений о, относительные деформации равны.

Первый индекс при е указывает направление относительной деформации, а второй — причину деформации. Так, например, е₂, является относительной деформацией в направлении напряжения о₂, вызванной напряжением в.

Аналогично от воздействия напряжений <�г₂ и <�т₃ получаем.

Относительные деформации, вызванные одновременным воздействием напряжений о, о₂ и <�т₃, равны.

После замены относительных деформаций ?_п, е_и и т. д. их выражениями последние формулы примут следующий вид:

Аналогичные формулы можно получить и для случаев, когда грани элементарного параллелепипеда не совпадают с главными площадками (т. е. когда по этим граням кроме нормальных напряжений действуют также и касательные). Это является следствием того, что касательные напряжения не вызывают удлинений ребер параллелепипеда, а вызывают лишь изменения прямых углов между его гранями. Для указанных случаев формулы имеют вид.

где а_х, ОуТл а_г- нормальные напряжения, действующие по боковым граням элементарного параллелепипеда (в общем случае не совпадающим с главными площадками); е_х, е_у и е₂ — относительные деформации его ребер.

Выражения (131) и (132), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями при объемном напряженном состоянии, носят название обобщенного закона Гука. Они применимы при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала.

Определим объемную деформацию. Она характеризуется относительным изменением объема, которое проще всего определить как изменение единицы объема. Объем после деформации будет: V+AV = (1 + Е) (1 + ?₂) (1 + ?з), откуда для малых деформаций, пренебрегая произведениями главных деформаций, получим относительную объемную деформацию.

Так как относительное изменение объема, конечно, не зависит от выбора осей, то его можно определить не только через главные, но и через любые удлинения.

Это и понятно, так как угловые деформации у^ у_>2, у_хг, вызывая изменение формы, не вызывают изменения объема. С другой стороны, из уравнений (133) и (134) ясно, что.

т. е., хотя отдельные величины удлинений (г" е_у, е₂) и зависят от выбора осей, их сумма — величина постоянная. Ясно также, что объем не изменяется, если е_х + е_у + е₂ = 0, например, при чистом сдвиге (кручении). Подставив в уравнение (134) значения главных удлинений по уравнениям (131), легко получить еще одно выражение для относительного изменения объема:

Отсюда видно, что при /г = 0,5 объем не изменяется, т. е. чем больше доля пластической деформации в общей ее величине, тем меньше изменение объема.

Подсчитаем еще величину энергии, затрачиваемой на деформацию, а значит, и величину потенциальной энергии деформации.

Удельная потенциальная энергия деформации в пределах упругости может быть легко подсчитана на основании закона независимости действия сил и следующего выражения:

Тогда получаем.

Подставив в это уравнение выражения главных удлинений (133), получим.

Удельная энергия изменения формы, т. е. величина энергии только формоизменения (при постоянном объеме):

Пример 27. Определить напряжения а, и а₂, действующие по двум взаимно перпендикулярным направлениям, если замеренные относительные деформации по этим направлениям соответственно равны следующим значениям: г. = 0,75, е₂ = - 0,65. Известно, что Е = 2−10⁵ МПа, ц = 0,3.

Решение Вычисляем напряжения о и а_г

Пример 28. Определить относительные деформации бруса? i и? г> если растягивающие напряжения 0 = 100 МПа и а₂ = 50 МПа, ц =0,3, Е = 2−10^s МПа.

Пример 29. Определить, при каком соотношении растягивающих напряжений о и аг (рис. 94), действующих на брус по взаимно перпендикулярным направлениям, относительная деформация? i будет отсутствовать.

Рис. 94. Элемент с заданным напряженным состоянием.

Решение.

Подставив Ei — 0, получим.

откуда.