Методы принятия решений для оптимального функционирования хтс в нечетко определенных ситуациях

Основные обозначения и классификация задач принятия решений при оптимизации функционирования ХТС

При проектировании и управлении ХТС специалисты сталкиваются с многочисленными и взаимосвязанными факторами, которые необходимо учитывать при принятии того или иного решения. Многосвязность факторов зачастую не позволяет предвидеть последствия принятого решения. Поэтому возрастает интерес к научному исследованию процесса принятия решений.

Под параметрами системы будем понимать набор наиболее существенных с точки зрения ЛПР характеристик ХТС. Состояние ХТС характеризуют множеством параметров, которые могут изменяться во времени и распределены в пространстве. Целью принятия решений является перевод состояния системы в текущий момент времени в некоторую желаемую область состояний ХТС. При этом должны быть созданы условия, обеспечивающие данный перевод. Для ОФХТС, при которой достигают экстремального значения один или несколько критериев, выполняется целенаправленное изменение состояния ХТС в желаемую область, зависящее от конкретной ситуации, сложившейся на производстве в текущий момент времени.

Принятие решений определяется отличием между фактическим состоянием ХТС и желаемой областью, степенью информативности ЛПР о состоянии и целях функционирования системы. При конкретизации проблемы принятия решений определяют средства, ресурсы и параметры, а также время сокращения расстояния до желаемой области, т. е. формулируют ЗПР.

Приведем общую форму записи ЗПР [12, 13]:

где V — заданные условия; W — желаемая область состояний ХТС.

Определение ЗПР предполагает заданным не только условия У, но и V^s — множество возможных состояний ХТС, а также — множество возможных операторов, которые обеспечивают переход ХТС из одного состояния в другое. При этом решение ЗПР заключается в выборе оператора или последовательности операторов для перевода ХТС из состояния в текущий момент времени в желаемое состояние.

Процессом принятия решений называют совокупность следующих действий ЛИР: а) формулировки проблемы решений и анализа информации о состоянии ХТС; б) постановки задач для оптимизации функционирования системы; в) разработки математической модели и методов решения задач; г) формирования возможных альтернативных решений и выбора окончательного решения; д) реализации решения и последующей корректировки модели.

ЗПР в форме (6.1), сформулированная в терминах состояний ХТС, имеет довольно общий характер. Дальнейшей конкретизацией является следующая форма:

где V — условие для принятия решений; Y — множество входных параметров, начальных условий, вариантов проектных решений, выделяемые и регулируемые ресурсы; | — множество неуправляемых возмущений, например колебания свойств, состава реакционных масс, катализаторов, поставок и спроса, технического состояния оборудования;

S — множество исходов или конечных результатов, получаемых после воздействия входпых параметров и возмущений на систему; D_Y — множество операторов dy: Y S (dy ?г например, в Dy присутствуют возможные способы организации технологического процесса; D$ — множество операторов dt:? —? S (d* ^ €r Di) U — множество критериев оценки W, элементами которых могут быть конкретные КЭ, отражающие выполнение заданий по выпуску продукции, затраты, надежность технологического оборудования и т. п.; Du — множество операторов dy: U -*? W (du (= Du) у которые характеризуют взаимосвязь между КЭ и желаемой областью состояния ХТС. Обычно Du содержит характеристики предпочтения ЛПР о важности частных КЭ или об их упорядочении, взаимозависимости.

Введем обозначения:

Отсюда следует, что обязательными для любого процесса принятия решений являются: цель, понимаемая как набор DuY> множество альтернатив <�У, Dy) ситуации, которые формализуются в виде модели ХТС с учетом операторов Dy и D^; правила выбора решения, которые дают возможность выделять наиболее предпочтительные варианты, совокупность методов и алгоритмов решения задачи (6.8); ЛПР, которое несет ответственность за анализ ситуаций, постановку ЗПР и принятие окончательного решения. ЛПР в конкретном случае из объективных факторов и субъективных соображений формирует КЭ, т. е. Du.

Проводят следующую классификацию ЗНР [8, 9, 26, 27]. Онаоснована на соотношениях между ситуациями, альтернативами и исходами от принятого решения. Формально эту классификацию представим в виде.

где К — оператор классификации ЗПР; X —> — соотношение ситуаций, вызванных внешней средой, альтернатив и исходов;; 1, ₂, <�ЗПР)₃ — подклассы ЗПР в условиях определенности, риска и неопределенности соответственно.

Кратко остановимся на определении и основных подходах решения каждого из подклассов ЗПР.

ЗПР в условиях определенности ₁ характеризуются однозначной, детерминированной связью между альтернативами X и исходом 5, а также отсутствием возмущений ?• В этих задачах каждой альтернативе соответствует строго определенный исход s (EES. Все функциональные зависимости модели ХТС являются детерминированными. В соответствии с видом этих зависимостей применяют методы линейного, нелинейного, дискретного (целочисленного) программирования, теории управления и другие. Единственная нечеткость в такого типа задачах — наличие КЭ Uу а также множества Dy.

При фиксированных взаимных предпочтениях между КЭ (Du = = const) задачи подкласса ₁ называются задачами с векторными критериями. Они имеют вид.

При конкретизации задачи и устранении нечеткости формулируют обобщенный КЭ F₀ (а:) и решающее правило. Для случая, когда локальные КЭ Ui (я) измеряются в одной шкале,.

при условиях (6.12), (6.13).

В случае, когда локальные КЭ С/, (а;) измеряются в различных шкалах, применяют следующий обобщенный критерий лффектнвности:

при условиях (6.12), (6.13).

Метод (6.16) — (6.18) минимизирует величину отклонения каждого локального критерия от его максимального значения. При таком формировании обобщенного КЭ (6.16), (6.17) может возникнуть некоторое несоответствие, связанное с тем, что можно добиться высоких показателей по одним критериям за счет ухудшения показателей по другим. В таких случаях некоторые значения Uf (х) < ?/_Доп₄, где U_Rоп_{ — предельное значение локального КЭ Ut {х).

Часто необходимо, чтобы выполнялось условие

для некоторых значений ?/J_on. < {7_ДОд. С учетом (6.19) и (6.14) можно построить следующее решающее правило:

Случай 2. Пусть Du задано таким образом, что локальные критерии упорядочены по предпочтению: U_x (я), (J₂ (я),.. ., U к (х). В этом случае решающее правило можно представить в следующем виде:

ЗПР в условиях риска ₂ возникают в тех случаях, когда с каждой принимаемой стратегией х X связано множество исходов из т возможных результатов.. ., Sj, .. ., s_m с известными вероятностями р (sj | х)_у где / = 1, т. Заметим, что подкласс задач ! является частным случаем ЗПР в условиях риска при т — 1 и р (sj х) = i.

Для решения задач класса ₂ широко применяются методы теории стохастического программирования, игр, массового обслуживания и другие вероятностные методы [7—91. В частности, если удается построить функции полезности каждого исхода s_f при принятии решений x_it может быть использован следующий метод решения задач подкласса ₂ [9, 13].

Пусть функция полезности исхода Sj при решении я* имеет вид.

^lu = / (Sj, X,). (С.25).

Формально модель любой задачи из подкласса ₂ может быть представлена в виде следующей матрицы:

В случае, если заданы условные вероятности р (Sj x_t)_t характеризующие переход ХТС в состояние $j при использовапии стратегии x_h полезность каждого решения представляют в виде

Решающее правило должпо обеспечить выбор стратегии с максимально ожидаемой полезностью.

Заметим, что для задач класса ₂ условия максимизации КЭ переходят в условия максимизации функций полезности, а формирование моделей заключается в нахождении р (Sj | #_f); / = 1, т i = 1, п [13).

ЗПР в условиях неопределенности ₃. Для этого класса задач возмущения от внешней среды учитываются, т. е.? Ф О,.

Ф 0. Эти возмущения неизвестны ЛПР. В таком случае вероятности исходов, рассмотренные для подкласса задач ₂, могут быть неизвестны или не имеют смысла. Тем не менее ЛПР на основании качественной информации и своего опыта знает альтернативы (л,.. х,-,.. ., ?_n) (= X и множество возможных желаемых состояний ($,.. .,.. ., $_т) Е= S. Кроме этого, ЛПР может сформулировать степени предпочтения на множестве состояний S, ожидаемых в результате принятия решений. Тогда для решения задач подкласса ₃ применяются методы статистических решений, если вероятности исходов р (sj | я,) имеют смысл и могут быть заданы ЛПР, теории нгр, различные эвристические методы [7—9). Приведем основные схемы решения ЗПР на основе теории статистических решений [8, 9).

Пусть ЛПР удалось получить: а) оценки полезности результата Sj при использовании стратегии x_h т. е. 1ц = / ($j, x_t); б) условные вероятности получения результата Sj ири использовании стратегии x_t — р (s, | xj); в) распределение вероятностей величины возмущений р (I*), где к = 1, 2, 3,. .. Относительно состоянии внешней среды ЛПР может высказывать определенные гипотезы. Поэтому его предноложения о вероятном состоянии среды, оказывающей возмущающее воздействие, являются субъективными вероятностями.

При известных оценках в) имеем ЗПР в условиях риска, т. е. задачу подкласса ₂. В данном случае решающее правило имеет вид.

Если оценка состояния внешних возмущений в) неизвестна, то решение задачи основывается на следующих критериях-методах.

Критерий Вальда, иначе называемый критерием «осторожного наблюдателя», оптимизирует ожидаемую полезность от принятия решения в предположении, что внешние возмущения принимают самые невыгодные для ЛПР значения. Для этого случая решающее правило имеет вид.

В результате получим решение, обеспечивающее гарантированный выигрыш при любом воздействии внешней среды.

Критерий Гурвица опирается на понятие коэффициента «доверия» ос для оценки вероятностей появления внешних возмущений. Пусть внешние возмущения принимают выгодные для ЛПР зпачепия с вероятностью а и невыгодные значения с вероятностью 1 — а. Тогда решающее правило имеет вид.

где.

Заметим, что при, а = О приходим к критерию Вальда, а при, а = 1 получим правило.

которое определяет стратегию «здорового оптимиста».

Критерий Лапласа используется в случае, если неизвестна вероятность появления внешних возмущений. При этом все значения возмущения принимаются равновероятными:

где к — возможное значение внешних возмущений. В этом случае решающее правило имеет вид (6.29) с учетом (6.33).

Критерий Сэвиджа, иногда называемый критерием минимизации «сожалений», характеризуется величиной, равной потери ожидаемой полезности результата при данном состоянии внешних возмущений относительно наилучшего решения. Формализация «сожаления» выполняется построением матрицы.

В каждом к-м столбце этой матрицы определяется максимальный элсмепт I* = max [/,*.]; к = 1, 2,.. К. Вычитая из всех эле;

i.

ментов к-то столбца величину I*, получим матрицу «сожалений» Решающее правило примет вид.

или в более общем виде.

где 1^ определяется соотношением (6.34).

Сделаем некоторые важные замечания. Из постановки ЗПР в форме (6.1) и (6.8) следует, что схемы информационных связей между параметрами в таких задачах различны. На рис. 6.1 и 6.2 показаны эти схемы, где р — блок решающего правила, остальные обозначения описаны выше. Переход от схемы, показанной на рис. 6.1, к схеме, изображенной на рис. 6.2, обусловлен детализацией взаимосвязи входных параметров и параметров состояния ХТС, а также целью ее функционирования. Последнее определяется введением в рассмотрение КЭ.

Для задач подкласса _Х связь с, показанная на рис. 6.2, отсутствует, а связи а н b являются детерминированными. Нечеткость возникает из-за наличия связи d. Для задач подкласса 2 связь с отсутствует, а связь b имеет нечеткий характер, так как каждая стратегия х X неоднозначно определяет состояние s S. При этом связь d остается такой же, как в задачах подкласса ,. Задачи подкласса ₃ отличаются от задач подкласса ₂ наличием неопределенности в связи с. Взаимосвязь между условиями принятия решений V и целью W через точку е отражает оценки полезности альтернатив и стратегий. Эти оценки определяются в виде обобщенной функции свертки в ₁ или в виде функций полезности в ₂ и ₃. Эти функции обозначены буквой /.

Для оценки связи g между входными факторами и исходами применяются экспертные методы и методы теории вероятностей. В блоке формирования решающего правила р выделяются гарантированные (с различной степенью уверенности) или компромиссные результаты ЗПР.

Различные постановки ЗПР и математические методы их решения отличаются в построении оценок неопределенности связей «альтернатива — исход», а также в выборе решающего правила для получения некоторого подмножества целесообразных стратегий. С этой точки зрения отметим некоторые особенности применения методологии нечетких множеств для решения ЗПР.

Во-первых, из-за сложной структуры связей между информационными параметрами, а также неопределенности при формализации связей рассматриваемые альтернативы и прогнозируемые результаты всегда являются нечеткими с точки зрения допустимости и эффективности. На рис. 6.3 отображена информационная структура ЗПР, рассматриваемой с точки зрения подхода нечетких множеств. Здесь X — множество альтернатив-стратегий, Dх — множество взаимосвязей между альтернативами. Остальные обозначения те же, что на предыдущих схемах. Нечеткость альтернатив с точки зрения допустимости и эффективности отражена связями g не, а нечеткость КЭ определена связью d.

Во-вторых, в схемах анализа, основанных на подходе нечетких множеств, так же как и в традиционных методах принятия решений, строится некоторая система гипотез, которая формулируется в терминах субъективной принадлежности параметра или связи к некоторому классу. Функции принадлежности выбирает ЛИР. Далее в результате анализа формируется результат в виде функции принадлежности некоторому множеству. Отсюда следует, что Рнс. 6.1. Схема информационных связей в обобщенной ЗПР.

Рнс. 6.2. Схема информационных связей в ЗПР в условиях определенности.

Рнс. 6.3. Информационная структура ЗПР в условиях нечеткой информации подход нечетких множеств подобно другим методам позволяет сжать множество возможных альтернатив [101.

Перейдем к формулировке общей ЗПР для ОФХТС в нечетко определенных ситуациях. Пользуясь общим определением ЗПР (6.1), введем обозначение условий принятия решений:

где t — тип ЗПР; R — множество КЭ, отображающих цели функционирования ХТС; Dr — множество соотношений между КЭ.

Нечеткость ситуации принятия решений обусловлена нечеткостью информации о множестве альтернатив, а также об их соотношениях .

Проведем систематизацию основных ЗПР для ОФХТС при нечеткой исходной информации.

Совокупность 311Р для ОФХТС по их назначению t разделяется на два класса задач, из которых класс, А образуется из задач упорядочения альтернатив в пространстве КЭ, класс Б состоит из задач группировки (классификации) множества альтернатив на подгруппы (классы) в некотором пространстве признаков.

Упорядочение есть процесс выявления и обоснования оценок предпочтения, которые дают ЛПР возможность выбрать наилучшее в данной ситуации решение. Задачи второго класса предназначены для распознавания условий, в которых ХТС функционирует, а также для формирования основных системообразующих элементов и параметров ХТС.

В качестве примера задач упорядочения класса, А при ОФХТС можно привести различные задачи выбора окончательных решений при синтезе, оптимизации ХТС в пространстве многих смешанных (количественных и качественных) и нечетко заданных КЭ. К задачам класса Б можно отнести: а) задачи классификации видов сырья и продукции с целью формирования номенклатуры ХТС, работающих в условиях постоянного обновления ассортимента продукции и комплексного использования сырья; б) задачи декомпозиции расширенных номенклатур сырья и продукции ХТС на подгруппы с целью формирования из последних базовых номенклатур подсистем ХТС (технологических схем и установок); в) задачи классификации единиц оборудования в пространстве конструкционно-технологических признаков подобия при формировании гибких и совмещенных схем для комплексного использования имеющегося оборудования; г) задачи группировки многостадийных технологических процессов при формировании совмещенных схем и оптимальных маршрутов выпуска продукции; д) другие задачи оптимизации структур гибких ХТС.

Рассмотрим теперь классификацию совокупности исходных ЗПР по степеням нечеткости их параметров, которая обусловлена нечетким заданием множества допустимых альтернатив, а также множеством КЭ и признаков функционирования ХТС.

Обозначим через Z множество параметров (КЭ, признаков, альтерпатпв-решений) ЗПР для ОФХТС. Тогда степени нечеткости представления множества параметров ЗПР можно условно разделить на четыре группы: Z<¹>, Z<² Z<³>, Z<⁴⁾, где группа Z^> соответствует случаю, когда множество Z является четко заданным и состоит из одного элемента; группа Zсоответствует случаю, когда Z является четким конечпым множеством, отношения важности между элементами множества Z четко определены; группа Z⁽³⁾ соответствует случаю, когда Z является четким конечным множеством, а отношения между элементами множества Z определены нечетко; группа Z⁽⁴⁾ соответствует ЗПР с нечетко определенным множеством параметров Z. В этом случае отношения между элементами множества Z также являются нечеткими.

Геометрически комплекс всех ЗПР в условиях нечеткой информации можпо представить некоторым многогранником в трехмерном пространстве, что показано на рис. (1.4. Оси координат Рис. 6.4. Геометрическая интерпретация комплекса .ЗПР в условиях нечеткой информации

пространства соответствуют классу ЗПР (А, Б), степеням нечеткости параметров R (к = 1, 4) и альтернатив X¹ (I = 1, 4).

При переходе от одного уровня нечеткости задания параметров к другому, более высокому уровню в ЗПР необходимо учитывать дополнительную нечеткость, которая усложняет процесс принятия решений. Обозначим через F{.1* и F?*• нечеткость, появляющуюся в ЗПР с параметрами или (А V Ь, Х^к, при переходе от задач с параметрами или <�А V Б, X¹, Л>, т. е.

Общий случай увеличения или уменьшения нечеткости параметров ЗПР при переходе от моделей одних задач к другим представим в виде.

Смысловое значение конкретной нечеткости, обусловленной переходами от модели одной ЗПР к другой модели, определяется следующим: 1) нечеткостью задания альтернатив. При этом выделяют F?.₂ — многоальтернативность ЗПР, F₂-₃ — отсутствие четких весов важности между альтернативами в смысле признаков или КЭ, F$L_X — нечеткое сопоставление множества альтернатив допустимым значениям; 2) нечеткостью информации о КЭ (целях оптимизации). В этом случае выделяют FjL₂ — наличие многих КЭ в ЗПР, F*-з — отсутствие четких весов важности между КЭ, — печеткое представление множества КЭ. Основные характеристики и интерпретация основных ЗЦР для ОФХТС классов, А го сл Таблица 6.1 Характеристики и интерпретация задач упорядочения альтернатив при принятии решений в условиях нечеткой информации.

гчэ сл гчэ Таблица 6.1 (окончание).

Таблица 6.2. Характеристики и интерпретация задач группировки параметров при принятии решений в условиях нечеткой информации.

го СП.

— Сь.

ГО сл сл.

и Б, а также присущие им виды нечеткости приведены в табл. 6.1 и 6.2.

^Поскольку любой процесс принятия решений сводит неопределенную ситуацию к некоторой детерминированной ситуации, при которой можно однозначно выбрать окончательное, наиболее предпочтительное решение, этот процесс можно представить в виде многошаговой процедуры последовательного устранения нечеткостей различного рода. Использование приведенной выше систематизации комплекса 311Р позволяет разработать математическое обеспечение по модульному принципу, который отражает логическую связь ЗПР в нечетко определенных условиях. В следующих разделах рассматриваются алгоритмы снижения нечеткости в ЗПР, направленных на анализ, синтез и оптимизацию химикотехнологических систем.