Вынужденные колебания системы с n степенями свободы

Рассмотрим случаи действия на систему внешних сил, изменяющихся по гармоническому закону.

На рис. 15.26 показана консольная балка с двумя массами Ш и т₂ и внешней силой Р = P₀cosQt. В дальнейшем силы, изменяющиеся во времени, будем изображать зигзагообразной стрелкой.

Перемещения масс т и т₂ определяются равенствами.

Здесь X] и Х₂ — силы инерции масс.

Движение масс и самой балки будет происходить по тому же закону во времени, по которому изменяется внешняя сила,.

Силы инерции Отсюда найдем.

Подстановка в уравнение (15.31) дает Обозначив.

получим.

Из этих уравнений очевидно, что силы инерции также будут изменяться по гармоническому закону, поэтому можно принять.

где Х и Х₂ — амплитуды сил инерции, т. е. наибольшие значения инерционных сил.

Подстановка в уравнения (15.31) дает.

Полученная система уравнений сходна с каноническими уравнениями метода сил, отличие лишь в том, что вместо б] 1 и 822 в них входят 8)! и 822, определяемые по формулам (15.32), а Х и Х₂ здесь амплитуды сил инерции, а не усилия в отброшенных связях.

Рассмотрен пример системы с двумя степенями свободы, однако приведенные выкладки справедливы для любой системы с п степенями свободы. В общем случае система уравнении для определения амплитуд инерционных сил запишется в виде.

По главной диагонали этой системы стоят условные перемещения.

Из формулы (15.34) очевидно, что неизвестные X_hX₂>…, Х" будут зависеть от частоты внешней силы, или, как показано в дальнейшем, от соотношения частот вынужденных и собственных колебаний, т. е. от 0/со.

Определив из уравнений (15.33) силы Х, Х₂,…, Х_п и приложив их к системе как амплитуду внешних сил Р₀, можем построить эпюру наибольших динамических изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. Точно так же можно определить и прогибы от действия динамических (вибрационных) нагрузок.