Использование интерполяционных полиномов для приближения функций

Интерполяционные полиномы, рассмотренные в параграфе 8.1.1, также можно применить для приближения непрерывной функции f (x) на некотором интервале |а, Ь. В этом случае точки х₀,…, x_N е [а, b] задаются произвольно, а Уп ⁼ А^хп) — Предположим, что функция f (x) определена на интервале [-1, 1]. Если мы построим интерполяционный полином, который приближает функцию f (x), то ошибку этого приближения можно представить в следующем виде:

где P_N(x) обозначает интерполяционный полином Лагранжа. Минимизация ошибки сводится к минимизации величины (х — х$)(х — Х)…(х — ягдг). Это можно осуществить, располагая узлы х₀, …, x_N специальным образом. Прежде чем обратиться к этому вопросу, нам необходимо рассмотреть некоторые дополнительные свойства полиномов Чебышева.

Нормированный полином Чебышева Т*(х) образуется из полинома Чебышева Т_п(х) делением на 2^й" ¹, где п> 1 (коэффициент при старшей степени полинома Т*(х) равен единице). Тогда Т$(х) = 0, Т*(х) = 2 ^х~^пТ_п(х), при п> 1. При этом нули полинома Т*(х) совпадают с нулями полинома Т_п(х), и они задаются выражением (8.21). Полиномы Т*(х), п > 1, обладают уникальным свойством: они имеют наименьшее отклонение от нуля на отрезке [-1,11 среди всех полиномов степени п. Так как (х — х$)(х — X)…(x — x_jV) представляет собой нормированный полином степени N+ 1, то минимальное отклонение этой величины от нуля достигается тогда, когда

Следовательно, узлы х", п = О, N, должны совпадать с нулями полинома T^_+i(x), т. е. х" = Xy+i,"+iЭтот метод выбора узлов интерполяционного полинома можно применять и в случае произвольного конечного интервала а, Ь], используя замену переменных.

Пример 8.10 (приближение функции полиномом Лагранжа) Рассмотрим специальную функцию.

Вычисление значений этой функции требует значительных вычислительных затрат. Для того чтобы уменьшить эти затраты, можно построить интерполяционный полином, аппроксимирующий данную функцию. Зададим, например, семь узлов интерполирования, определяемых по формуле (8.22) (N = 6, а = О, b = 10):

Теперь мы можем построить интерполяционный полином Лагранжа (8.2), принимающий в этих точках значения у" = = Si (x"). На рис. 8.10 показаны графики полученного интерполяционного полинома и функции Si (x). Легко видеть, что этот полином дает хорошее приближение функции Si (x) на отрезке х е [0,9].

Рис. 8.10. Аппроксимация функции Si (x) интерполяционным полиномом Лагранжа с оптимальными узлами интерполяции:

—57(х); • — интерполяционный полином.