Нет универсального р-адического теста
С2 > 1. Тогда = W™)t ЩЦ = ед. Следовательно, [/{Пк) D U W&l = Хп". Из этого следует, что |1('"l))|p =. Теперь построим два р-адических теста W и И', используя следующую процедуру. Используя неравенство (6.1), получим, что wjnk^ П ф 0, а, следовательно,. Теорема 6.1. Универсальный р-адический тест не существует. А (ХПк)р = 1. Это противоречит оценке (3.2).? При к = 1,2,… и j = 1,…, А (п… Читать ещё >
Нет универсального р-адического теста (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Естественным обобщением определения универсального статистического теста будет следующее определение:
Определение 6.1. р-адический rnecm U называется универсальнм, если для каждого р-адического теста V можно эффективно найти натуральное число с (зависящее от U и V) такое, что включение Vm+C С Um выполняется для всех т.
Хорошо известно, что в обыкновенной вещественной теории вероятностей существует универсальный статистический тест (который, конечно же, не единственный). Мы покажем, что в р-адн ческой теории вероятностей не существует универсальных рекурсивных тестов. Начнем с некоторых технических рассмотрений. Пам следует более внимательно изучить свойства функции А (п) = [тг logp 2]. При р > 2, мы имеем: logp2 < 1.
Положим L* = fojr~2 • Если 0 < п < L, тогда гг logp 2 < 1 и А (п) = 0; тем же способом мы получим: если Ь^~ < п < L*, то А (п.) = k— 1, к > 2. Положим Uk = Lk + 1;
Доказательство. Имеем: А (п*) = к и А (п* — 1) = А: — 1. По определению, A (n) = max{Z: р1 < 2"}. Значит, для всех п выполнено неравенство рЛ(«)+1 > 2″. В частности, рА(п*~1)+1 = р* > 2П*»1. Следовательно, р* =рАЮ > 2Пк~1. и
Теперь построим два р-адических теста W и И', используя следующую процедуру.
При к = 1,2,… и j = 1,…, А (п*), полагаем и.
a Wj ^ = 0 при п ф щ и / = 1,2,…. Здесь мы воспользовались лексикографической нумерацией элементов множества ХПк, к = 1,2,. тьт2,…, х2пк. Поскольку nk)) = (T (wjnk)) = pA (nfc), j = 1,2…, A (n),.
используя неравенство (6.1), получим, что wjnk^ П ф 0, а, следовательно,.
Теорема 6.1. Универсальный р-адический тест не существует.
Доказательство. Предположим противное, что существует универсальный р-адический тест U. Следовательно, мы можем эффективно найти числа с, с2 € N такие, что будут справедливы включения И '",+С1 С Um и Игт+С2 С U)n. где W и W — р-адические тесты, построенные перед этой теоремой. Пусть к настолько большое, что A (n*) — > 1 и.
(пк)-с2 > 1. Тогда = W™)t ЩЦ = ед. Следовательно, [/{Пк) D U W&l = Хп". Из этого следует, что |1('"l))|p =.
а (ХПк)р = 1. Это противоречит оценке (3.2). ?