Электромагнитное излучение в полости твердого тела

Рассмотрим электромагнитное излучение, заключенное в полости внутри некоторого тела. Если температура тела поддерживается постоянной, то со временем установится тепловое равновесие между излучением и стенками полости. В силу закона Кирхгофа свойства и характеристики равновесного теплового излучения не зависят от формы и химического состава тел, с которыми оно взаимодействует. Поэтому будем для простоты считать, что стенки полости имеют форму прямоугольного параллелепипеда и полностью отражают падающее на них излучение. Направим координатные оси вдоль ребер параллелепипеда, длины которых обозначим а, 6, с (рис. 16.6).

Рис. 16.6. Стоячие электромагнитные волны внутри прямоугольной полости с идеально отражающими стенками.

При наложении электромагнитных волн, бегущих навстречу друг другу, образуются стоячие волны. Так как по предположению стенки полости полностью отражают падающее на них излучение, напряженность электрического поля на поверхности полости будет равна нулю. В таком случае функции, описывающие стоячие волны внутри параллелепипеда, будут иметь наиболее простой вид. Так, например, волны, распространяющиеся вдоль оси у, образуют стоячие волны.

где Е_Х} Е_у и Е_г — проекции на оси координат вектора Е напряженности электрического поля; А и Аг — амплитуды волн; к_у — волновое число;

c*i и с*2 — начальные фазы. Вектор Е, определяемый этими формулами, обращается в ноль при у = 0, т. е. на одной из сторон параллелепипеда. Он должен быть равен нулю также и на противоположной его стороне при у = 6:

Это условие выполняется, если волновое число.

где п_у — целое число. В силу произвольности начальных фаз ai и с*2> равные по величине и противоположные по знаку волновые числа к_у характеризуют одну и ту же стоячую волну. Поэтому удобно положить.

Для волн, бегущих вдоль координатных осей х и z, волновые числа принимают значения.

где Из полученных формул следует, что стоячие волны, возникающие внутри параллелепипеда с идеально отражающими стенками, характеризуются волновыми векторами.

При этом одному вектору к соответствуют две стоячие волны с различными взаимно перпендикулярными направлениями векторов Е .

Рис. 16.7. К вычислению числа dNk волн в прямоугольной полости.

Найдем число dNk стоячих волн, для которых волновые числа (т.е. модули волновых векторов к) лежат в интервале (к, к + dk). Для этого построим прямоугольную систему координат, на осях которой будем откладывать значения проекций к_с, к_у, к_г волнового вектора к. Каждой стоячей волне будет соответствовать в этом пространстве точка с координатами

Все эти точки располагаются в первом октанте пространства и образуют прямоугольную ''кристаллическую решетку". Объем элементарной ячейки этой решетки равен 7Г^г/аЬс. Следовательно, концентрация точек, являющихся узлами решетки, будет равна «бс/тг³. Волнам, для которых волновые числа лежат в интервале (к, к + dk), соответствуют точки, лежащие внутри сферического слоя радиуса к и толщины dk (рис. 16.7). Число этих точек равно произведению их концентрации на объем 1/8 части слоя. Так как каждому волновому вектору к соответствуют две стоячие волны с различными поляризациями (направлениями колебаний) вектора Е, то число волн будет вдвое больше числа точек:

где V = а Ь с — объем параллелепипеда.

Волновое число связано с частотой волны соотношением.

где с — скорость света. При помощи этого соотношения найдем число dN_w волн в объеме V с частотами в интервале (ы, и/ + du):