Характеристическая функция потока

Дифференциальное уравнение траекторий потока, очевидно, будет:

Перепишем это уравнение в виде:

В силу условия (36) левая часть последнего уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции v (x, y), т. е.

есть дифференциальное уравнение траекторий потока.

Следовательно, уравнение v = const, изображает траектории нашего потока, которые согласно замечанию, сделанному в конце п. 1, будут ортогональными по отношению к линиям уровня и= const. Функция v (x, у) носит название функции потока. Из уравнения (37) вытекает, что функции и и v связаны соотношениями:

Таким образом, потенциал скоростей и функция потока в области G связаны условиями Коши-Римана (гл. II, § 4, п. 4) и представляют, следовательно, две сопряжённые гармонические функции в этой области. Зная эти функции, мы можем полностью охарактеризовать соответствующий им поток.

Чтобы охарактеризовать поток жидкости в односвязной области G, мы можем вместо пары функций и (х, у) и v (x, у) ввести в рассмотрение одну функцию комплексного* переменного г, г = хf-yi, а именно: f {z) = u (x, y)-~ + iv (лг, у). Согласно условиям (C.-R), функция f (z) есть аналитическая в области G (гл. И, § 4, и. 4); она носит название характеристической функции потока. Итак, всякому невихревому и свободному от источников в односвязноЙ области G потоку жидкости соответствует характеристическая функция f (z), являющаяся аналитической в области G; обратно, задание любой функции f{z), аналитической в односвязной области G, определяет в этой области нсвихревой и свободный от источников поток жидкости.

Вводя аналитическую функцию f{z) как характеристику потока, мы можем применять теорию аналитических функций к изучению плоского течения жидкости.

Заметим, что скорость потока в любой точке z = x~-yi определяется по величине и направлению парой р (х_у у) и q (x, у), или, что тоже, комплексным числом: p—iq. С другой стороны, мы имеем:

Таким образом, величина скорости в точке z равна:

направление же скорости образует с положительным направлением оси х угол, равный и противоположный по знаку с аргументом f'(z). Иными словами, скорость потока в точке z вполне определяется комплексным числом /'(г), т. е. числом, сопряженным со значением производной f'(z) в этой точке.

Итак, мы пришли к гидродинамическому истолкованию модуля и аргумента производной функции комплексного переменного, а именно: рассматривая заданную в односвязной области аналитическую функцию / (г) как характеристическую функцию соответствующего потока жидкости, мы можем утверждать, что f {z) равен величине скорости течения в точке г, a argf'(z) с обратным знаком определяет направление этой скорости.