Ошибки первого и второго рода

При принятии решения возникают ошибки первого и второго рода, заключающиеся в том, что мы либо отклоняем верную основную гипотезу, либо принимаем неверную основную гипотезу. Можно ли минимизировать как одну, так и другую ошибки? Какое число измерений необходимо провести, чтобы величины этих ошибок не превышали задаваемого нами допустимого предела? Для ответа на эти вопросы рассмотрим несколько теоретических задач.

Теоретическая задача 15.5. Правило принятия решения с возможностью совершения ошибки второго рода |3 рассмотрим на том же примере нормально распределенной случайной величины. Будем разыскивать критическую область, попадание в которую означает отклонение гипотезы Я], хотя она верна, и принятие гипотезы Н₀. Построим критерий отношения правдоподобия для случайной величины Е, ~ N (a, а²) с известной дисперсией а² и неизвестным математическим ожиданием а, относительно которого имеются две гипотезы: основная Я₀: а = а₀ и альтернативная Н_х: а = а,>а₀.

Решение. Основное уравнение метода.

позволяет представить критерий отношения правдоподобия в виде.

Проведя преобразования, аналогичные теоретической задаче 15.1, получим.

Решая неравенство относительно х и считая а₀-а₁ < 0, будем иметь.

Получим далее.

Вероятность ошибки второго рода Р берется обычно в пределах от 0,01 до 0,2, как и а. По таблице Лапласа находим х_кр =хР > 0 и строим правило:

если г) < -х_кр, то гипотеза Я, отклоняется, гипотеза Я₀ принимается; если ц > -х_кр, то гипотеза Я_х принимается.

По содержательному смыслу среднее значение выборки сравнивается с предложенным гипотезой Н_] значением математического ожида;

_ а

ния а — а_ь отстоящим от х на величину —=х_кр, что приводит к следую;

Vn.

щей оценке:

если Зс<�а] -С_1ф([5) = а_] —j=x_Kp, то гипотеза Н₁ отклоняется с вероятно;

Т1

стью ошибки (3, гипотеза Я₀ принимается; ст если х >aj —•, то гипотеза Н_г принимается.

Vn.

Теоретическая задача 15.6. Заданы вероятности ошибок первого и второго рода, а и р. Найти минимальный объем выборки значений случайной величины Ъ, ~ N (a, а²), позволяющий указать правило принятия решения при известной дисперсии а², имея гипотезы Н₀: а = а₀ и Ну, а = а_г > а₀.

Решение. Требование минимизации ошибок первого и второго рода приводит к перемещению а₀ + С_кр(а) вправо, а_г — С_кр(|3) влево по горизонтальным стрелкам (рис. 15.4) до их совмещения:

Рис. 15.4. Ошибки первого и второго рода.

Легко найти минимальный объем выборки, при котором вероятности ошибок первого и второго рода не будут превышать величин, а и (3:

Здесь х_а и Хр берутся с положительными знаками. ?

Пример 15.2. Проверяются нулевая гипотеза Н₀: а = а₀ = 10 и альтернативная Hj: а = dj = 12. Найти объем выборки, при котором вероятность ошибки первого рода не превышает 0,01, вероятность ошибки второго рода не превышает 0,05 при известной дисперсии а² = 4 (рис. 15.5).

Решение. Требование минимизации ошибок первого и второго рода определяется равенством С_кр(ос) = С_кр((3), или.

Минимальный объем выборки.

т.е. должно быть не менее 16 наблюдений.

Правило принятия решения выглядит следующим образом: при.

_ а 2.

х Q+—j=x_a =10±т=2,33 = 11,17 принимается основная гипотеза Н₀, откло- 1п V16.

няется гипотеза H_v Вероятность неверного решения составляет 1%. Если.

_ <7 2.

х>а_А —-j=x* =12—=1,645 = 11,18, принимается альтернативная гипотеза Vn VI6.

Н_ь отклоняется гипотеза Н₀. Вероятность неверного решения составляет 5%.