Расчет висячего моста по деформированной схеме

Рассмотрим однопролетный висячий мост, в котором к гибкой нити с помощью подвесок прикреплена балка жесткости переменного сечения. Основные размеры и обозначения показаны на рис. 12.5, а. В процессе загружения моста временной нагрузкой балка изгибается и через подвески передает дополнительные силы на кабель. В свою очередь.

Рис. 12.5.

кабель меняет очертание, и силы, поддерживающие балку, изменяются. В качестве расчетной схемы приходится выбирать гак называемую деформированную схему, в которой учитывается изменение очертаний кабеля и балки, соответствующее заданной нагрузке. Примерное деформированное состояние моста показано на рис. 12.5, 6.

Сделаем следующие допущения.

• 1. Постоянная нагрузка g (измеряемая в кН/м) равномерно распределена вдоль пролета моста.
• 2. Ось кабеля до загружения временной нагрузкой q очерчена по квадратной параболе. Изгибающие моменты в балке от постоянной нагрузки равны нулю. Это достигается на практике тем, что при сборке моста к кабелю подвешиваются звенья балки, а их замоноличивание производится после того, как нагрузка от звеньев балки передастся на кабель в виде равномерно распределенной нагрузки.
• 3. Кабель представляет собой пологую нить, что позволяет не учитывать перемещения его узлов по горизонтали.
• 4. Подвески будем считать нерастяжимыми, что позволит без ущерба для точности сделать расчет наглядным и легко обозримым, хотя учет деформаций подвесок не внесет каких-либо трудностей и всегда может быть проведен при расчете реальных объектов.

Распор и усилия в подвесках от постоянной нагрузки будут.

где d — расстояние между подвесками.

Рис. 12.6.

В процессе загружения моста временной нагрузкой q усилие в подвесках изменяется на некоторую, пока не известную величину X. Так, усилие в подвеске к будет равно К, + X/.

Выберем расчетную схему, проведя сечение через все подвески, как показано на рис. 12.6.

Силы, действующие на балку со стороны подвесок, будут равны

а на кабель будут действовать силы V_q + Х_к, к = 1, 2,…, п.

Обозначим прогибы балки в точках прикрепления подвесок через г),. Вектор прогибов всех узловых точек будет.

Обозначим матрицу прогибов балок L, тогда.

Между усилиями в подвесках и ординатами оси кабеля, как было установлено в п. 12.6 (см. формулу (12.17)), существует зависимость.

Но легко установить, что при очертании оси кабеля по квадратной параболе

где 5 — матрица-столбец, все ординаты которого равны единице; Ь₂ — см. матрицу (12.19).

Определив из выражения (12.42) вектор X и подставив его в формулу (12.41), получим.

где Е — единичная матрица (матрица с единицами на главной диагонали и нулевыми остальными элементами).

Решив уравнение (12.44) относительно rj и учтя обозначение.

получим.

где.

Матрица прогибов L определяется с помощью метода фиктивных сил. Приведем готовый результат:

где матрицы будут.

В уравнение (12.46) кроме искомого вектора rj входит неизвестная величина X. Поэтому необходимо составить еще одно дополнительное уравнение. Для этой цели, так же как и при расчете гибкой нити, воспользуемся принципом Лагранжа, по которому работа внешних и внутренних сил для кабеля от постоянной нагрузки на перемещениях от временной нагрузки равна нулю. Для рассматриваемого примера с учетом длины двух оттяжек (см. рис. 12.6) получим.

где Sh — длина элемента кабеля между точками 1 и к; величины S₀ и т показаны на рис. 12.6.

Подставляя в выражение (12.50) вместо V_g его значение по формуле (12.40), получим.

Здесь L_s— приведенная длина, определяемая по формуле (12.36). Уравнение (12.51) с учетом формул (12.36) и (12.45) после всех преобразований приводится к виду.

где.

Совместное решение уравнений (12.46) и (12.53), которые будем называть основными, позволяет определить вектор rj и параметр А, после чего легко определить усилия в подвесках (12.42) и затем все остальные величины, необходимые для расчета моста.

Поясним решение совместных уравнений (12.46) и (12.53).

Представим уравнение (12.53) в виде.

Теперь необходимо методом последовательных приближений найти такое А., при котором /(А.) обратится в ноль. Положив А/₊₁ = А+ ДА и подставляя каждый раз это значе;

п

ние в уравнение (12.46), найдем новое значение rj и затем ?

k=

которое вновь подставим в уравнение (12.53). Процесс повторяется до тех пор, пока/(X) не будет меньше малой величины г. Эта задача с помощью компьютера решается без каких-либо затруднений.