Матрицы решений. 
Дифференциальные и разностные уравнения

Определение 3.2. Всякая (п х ?)-матрица ^VF (/), tel, называется матрицей решений системы (3.2), если ее столбцы являются решениями этой системы.

Определение 3.3. Если столбцы матрицы решений образуют фундаментальную систему решений, то матрица называется фундаментальной матрицей решений.

Теорема 3.3. (п х к)-матрица ^vF®, tel, является матричным решением системы (3.2) тогда и только тогда, когда Ф (?) = P (t)'V (t) для любого tel.

Доказывать здесь нечего, это просто матричная формулировка.

Теорема 3.4. (п х п)-матрица решений Ф (!) является фундаментальной матрицей тогда и только тогда, когда det (?) Ф 0 для любого tel.

Доказательство. Данный результат непосредственно вытекает из следствия 1 основной теоремы о размерности пространства решений.

Теорема 3.5. Пусть Ф (?) — фундаментальная матрица решений системы (3.2). Тогда множество матриц вида {Ф (/)5: S — постоянная (п х k)-матрица с элементами из поля У} есть множество всех (п х к)-матриц решений.

Доказательство. Утверждение теоремы очевидно, если рассматривать число алгебраически.

Теорема 3.6. Пусть Ф (/) — фундаментальная матрица решений. Тогда множество матриц вида {Ф (?)5: S — постоянная невырожденная (п х п)-матрица} есть множество всех фундаментальных матриц решений.

Доказательство. 1. Для любой постоянной (п х ц)-матрицы S по теореме 3.5 Ф5 — тоже решение. Но матрица S — невырожденная, следовательно, Ф5 — тоже невырожденная. А любая невырожденная матрица — фундаментальная матрица решений.

2. Пусть Ф — любая фундаментальная матрица решений. Тогда по теореме 3.5 Ф = Ф5, S — некая постоянная матрица. Но тогда 5 = Ф^_1Ф, т. е. S — невырожденная постоянная матрица, таким образом, Ф действительно представима как ФУ, где S не вырождена.

Следствие. Если Ф (?) — фундаментальная матрица решений, то = = {Ф (?)С: С е У" }.