Многомерные ПФЭ типа 2к

Эксперимент, в котором уровни каждого фактора комбинируются со всеми уровнями других факторов, есть ПФЭ.

План эксперимента задает множество точек проведения экспериментов.

а совокупность значений факторов во всех N точках плана эксперимента образует матрицу плана.

Строки матрицы соответствуют опытам, столбцы — факторам, элемент матрицы xj задает значение j-ro фактора в f-м опыте. На практике широкое распространение получили представления функции отклика в виде линейной по параметрам модели регрессионного анализа. Вследствие влияния на результаты экспериментов случайных воздействий истинные значения коэффициентов модели можно определить только приближенно. Оценку вектора неизвестных параметров р находят с помощью метода наименьших квадратов по результатам экспериментов.

Формируя специальным образом матрицу плана, можно получить независимые оценки компонент вектора неизвестных параметров Ь, которые будут характеризовать вклад каждого фактора в значение функции отклика.

Итак, задача заключается в определении общей формы записи функции отклика у, в большинстве случаев вид которой, получаемый из теоретических соображений, является сложным для практического применения, а при неполном знании объекта вообще неизвестен. По данным причинам функцию целесообразно представить в универсальном, удобном для практического применения виде, чему соответствует полиномиальный. Тогда системой базисных функций будет совокупность степенных функций с целыми неотрицательными показателями степени. Полиномиальная форма представления функции отклика примет вид.

где е — случайная величина, характеризующая ошибку опыта.

Такая функция отклика линейна относительно неизвестных коэффициентов и будет полностью определена, если заданы степень полинома и коэффициенты. Степень полинома обычно устанавливается исследователем априорно и уточняется в ходе исследования. На практике наибольшее распространение получили полиномы первого и второго порядка, т. е. линейные и квадратичные модели. Коэффициенты полинома принято называть эффектами факторов.

Применение ТПЭ основано на ряде допущений [8—21].

• 1. Функция отклика содержит в своем составе неслучайную и случайную составляющие. Оценки коэффициентов формируются путем усреднения результатов наблюдений. Поэтому при достаточно большом количестве наблюдений можно считать, что случайная составляющая г. распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией о², не зависящей от значений факторов, что позволяет получить несмещенную оценку математического ожидания функции отклика в конкретной точке плана. Иначе говоря, результаты, полученные путем усреднения повторных опытов в каждой точке плана, представляют собой независимые, нормально распределенные случайные величины.
• 2. Факторы jc₁₍ х₂,…, х_к отличаются пренебрежимо малыми ошибками по сравнению с ошибкой в определении величины у (учет помех в задании факторов приводит к трудноразрешимым проблемам в оценке коэффициентов функции отклика). Возникновение ошибки в определении значения функции отклика объясняется не столько погрешностью измерений, сколько влиянием на результат работы системы неучтенных или случайных факторов.
• 3. Дисперсии среднего значения функции отклика в различных точках равны друг другу (выборочные оценки дисперсии однородны), поэтому при многократных повторных наблюдениях над величиной у при некотором наборе значений х_1и, х_2и, …, х_ки получаемая оценка дисперсии среднего значения не будет отличаться от оценки дисперсии, полученной при многократных наблюдениях для любого другого набора значений независимых переменных v_ls, v_2s, …, v_b.

Указанные допущения позволяют использовать для расчетов коэффициентов полинома МНК, применение которого, вообще говоря, не требует, чтобы результаты наблюдения были нормально распределены. Этот метод в любом случае дает решение, минимизирующее сумму квадратов отклонений результатов наблюдения от значений функции отклика. Допущение о нормальном распределении используется, например, при проверке адекватности функции отклика.