Способы математического моделирования нелинейных элементов

Математической моделью реального объекта называют математическое описание, достоверно отражающее его поведение или функционирование при заданных условиях.

Цель моделирования нелинейных элементов (НЭ) — выявление с помощью математического описания основных свойств и параметров реальных элементов, а также построение математических моделей электронных устройств.

Задача математического моделирования состоит в отыскании оператора (или алгоритма), устанавливающего связь между внутренними и внешними параметрами НЭ. Следует выделить две группы указанных параметров первичные и вторичные.

Первичными внутренними параметрами НЭ являются физикотопологические параметры отдельных компонентов НЭ: размеры областей компонентов, подвижность носителей зарядов, характеристики материала и др. Вторичные внутренние параметры — это токи (заряды) и напряжения (потокосцепления) на выводах отдельных компонентов.

К первичным внешним параметрам относятся токи и напряжения на внешних зажимах НЭ. С их помощью вычисляются вторичные внешние параметры (максимальные и средние значения токов и напряжений, частотные характеристики, эффективные активные и реактивные сопротивления на отдельных гармониках воздействия, длительности фронтов импульсов и задержек и др.), которые позволяют оценить основные свойства и показатели реальных НЭ.

Вид функциональной связи и содержание понятий внутренних и внешних параметров элемента определяется его назначением, принципом функционирования, физической сущностью, способом использования и рядом других факторов. В зависимости от целей проектирования внутренними параметрами могут быть электрические или конструктивнотехнологические параметры элемента. Если модель предназначена для расчета схемы устройства, то параметрами являются токи и напряжения. При использовании модели для проектирования самого элемента в качестве внешних параметров используют заряды и плотности токов. Для активных элементов (транзисторов и диодов) связь между внешними и внутренними параметрами в общем случае определяется на основе фундаментальных уравнений движения носителей заряда в твердом теле (уравнений переноса, непрерывности и Пуассона).

Вопросы построения математических моделей НЭ имеют первостепенное значение при моделировании различных электронных устройств, так как от их решения зависит достоверность теоретических исследований. Кроме того, математические модели позволяют оценить свойства реальных НЭ и прогнозировать эффективность их применения для тех или иных функциональных преобразований колебаний и сигналов.

Приведем краткое описание основных способов моделирования и форм представления моделей нелинейных элементов. Следует иметь в виду, что многие НЭ (транзисторы, СНРЭ и др.) имеют сложные многокомпонентные схемы замещения. Поэтому излагаемые ниже способы моделирования можно в равной мере рассматривать и как способы моделирования электрических цепей.

Микромоделирование НЭ. Переход к машинным методам анализа и расчета электрических цепей выдвинул более жесткие требования к моделям электронных устройств (узлов), и в первую очередь — к повышению точности математических моделей отдельных элементов и компонентов. Наиболее полная информация о поведении НЭ может быть получена на основе математического описания отдельных компонентов схемы НЭ и составления уравнений взаимосвязи между ними. При этом математическая модель СНРЭ состоит из системы топологических и компонентных уравнений. Форма представления уравнений определяется назначением модели, базисом переменных и методом составления уравнений, степенью детализации моделей отдельных компонентов, методом решения уравнений, способом включения уравнений модели НЭ в математическую модель устройства и рядом других факторов. Так, модель НЭ для динамического режима, построенная с использованием метода переменных состояния, содержит в общем случае систему из обыкновенных дифференциальных нелинейных уравнений первого порядка, нелинейных алгобраических и трансцендентных уравнений. При расчетах на ЦВМ исходная система уравнений должна быть представлена в разностно-итерационной форме.

Таким образом, микромоделирование предполагает детальное математическое описание НЭ, представленного в виде электрической схемы (подсхемы). Такой способ моделирования, ориентированный на машинную реализацию, широко освещен в литературе по автоматизации схемотехнического проектирования [8, 15, 16].

Макромоделирование НЭ.

Введение

макромоделей диктуется потребностью понижения размерности системы уравнений для модели разрабаты;

ваемого устройства. Это в первую очередь касается устройств, выполненных на интегральных схемах (ИС). Даже использование при моделировании простейших моделей транзисторов не решит проблему размерности модели, если ИС содержит сотни и тысячи транзисторных структур. Поэтому в этом случае единственной альтернативой ее решения является переход к макромоделированию. При построении макромодели стремятся исключить (сохранив особенности схемотехнического решения узла) второстепенные элементы, не влияющие на его основные характеристики. Для отражения неидеальности характеристик реального узла в модель добавляют элементы (входные и выходные сопротивления, инерционные звенья и др.). Принципы построения макромоделей изложены в [25], там же приведены макромодели ряда аналоговых и цифровых узлов.

При макромодслировании синтезированных НРЭ, представляющих собой подсхему, выделяются силовая и информационно-управляющая цепи. Для силовой цепи, содержащей накопитель и управляемый ключ, составляются уравнения. Затем строятся макромодели узлов, входящих в информационно-управляющую цепь СНРЭ: датчика воздействующих колебаний и схемы управления, которая может содержать ИС компаратора. После этого осуществляется стыковка уравнений для силовой и информационно-управляющей цепей СНРЭ. Форма представления уравнений макромодели СНРЭ зависит от типа элементов, используемых в качестве управляемого ключа, и выбранных их схем замещения или математических моделей, от степени сложности технических решений датчика воздействия и схемы управления ключом и детализации математического описания их макромоделей [27].

Идентификации НЭ. Под идентификацией понимают построение математической модели объекта (НЭ, цепи) по априорной информации о его поведении [12, 34−37]. Простейшим примером идентификации является идентификация резистивных нелинейных элементов на постоянном токе, когда модель строится путем аппроксимации снятых экспериментально вольт-амперных характеристик. Однако полученная модель отражает только статические свойства элементов. Кроме того, такой подход неприемлем для идентификации нелинейных реактивных элементов.

В общей постановке задача идентификации НЭ состоит в определении структуры и параметров оператора А, устанавливающего связь между воздействием * и реакцией у.

Один из главных вопросов идентификации — выбор формы описания модели НЭ. Если для линейных цепей существуют универсальные опера;

торы (например, импульсная характеристика), то для нелинейных цепей такие операторы неизвестны. Для их описания используют различные способы: интегральные, нелинейные дифференциальные и трансцендентные уравнения, функциональные ряды, нелинейные однозначные и многозначные функции, семейства кривых и др. Выбор формы описания зависит от априорной информации о НЭ, степени соответствия модели НЭ оригиналу, эксплуатационных требований к модели и т. д.

Другой вопрос — выбор метода исследования. Известны пассивный и активный методы идентификации. При пассивном методе модель строится, но результатам наблюдения за объектом в реальных условиях. Для идентификации нелинейных элементов обычно используется активный метод, при котором априорную информацию получают экспериментально с помощью детерминированных тестовых сигналов (ТС). При заданной структуре оператора выбор ТС подчинен, как правило, требованию существования и единственности решения задачи идентификации. После того как определены структура оператора А и класс ТС, задача идентификации сводится к нахождению параметров и характеристик оператора, представляющих собой некоторые константы, функции, математические выражения. Во многих случаях эта задача рассматривается как самостоятельная задача идентификации нелинейных элементов, для решения которой используются различные подходы и методы. Немаловажную роль при идентификации играют вопросы схемной или аппаратурной реализации метода, оказывающей основное влияние на точность полученных математических моделей.

Сопоставление способов моделирования. При микромоделировании можно построить модели, наиболее полно отражающие свойства реальных объектов. В частности, микромодель синтезированного НРЭ позволяет выявить режимы работы отдельных его компонентов, оценить влияние их параметров на свойства СНРЭ, дать обоснованные рекомендации по выбору компонентов. К недостаткам этого способа моделирования следует отнести:

=> трудности построения микромоделей для некоторых компонентов (микросхем, транзисторов и диодов в импульсных режимах и др.), обусловленные их сложной структурой и протекающими процессами; => детализацию математического описания, которая лишает математическую модель универсальности;

=> эксплуатационные неудобства, связанные с решением систем уравнений высокой размерности.

Макромоделирование ориентировано на выявление основных, наиболее важных свойств моделируемого объекта и позволяет получить экономное математическое описание объекта с сохранением принципа его функционирования. Достоинство макромоделирования проявляется в возможности наиболее полного удовлетворения противоречивых требований простоты и точности моделей выбором степени детализации описания отдельных узлов и компонентов объекта.

Способ построения математических моделей объектов по известной информации о воздействии и отклике — идентификация объектов — привлекает внимание, прежде всего, своей универсальностью. Он позволяет в ряде случаев, независимо от физической природы объекта, получить его математическое описание в заданном (выбранном) классе операторов по заранее разработанному алгоритму. Это достоинство наиболее ярко проявляется для линейных объектов, располагающих для описания, как указано выше, универсальными операторами. Другим примером являются ферромагнитные и полупроводниковые НРЭ, идентификация которых может осуществляться в одном классе операторов одними и теми же методами. Соответствующим выбором оператора и тестового сигнала можно построить компромиссную модель, удовлетворяющую требованиям простоты и точности. Еще одно достоинство идентификации состоит в том, что она базируется на экспериментальных данных, в то время как при других способах моделирования построенная модель требует тщательной экспериментальной проверки. Построение модели по априорной информации придает уверенность в достоверности конечных результатов моделирования.

Дальнейшее изложение посвящено методам идентификации, поскольку вопросы микрои макромоделирования достаточно подробно освещены в литературе.