Гиперциклы. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Мы видели, что ортогональными траекториями неевклидовых прямых, выходящих из одной точки, служат неевклидовы окружности (окружности, внутренние к Г); в предыдущем пункте мы обнаружили, что ортогональные траектории семейства параллельных неевклидовых прямых будут горициклы (окружности, касательные к Г).

Фиг. 51.

Итак, мы рассмотрели, с одной стороны, семейство неевклидовых прямых, изображаемых пучком окружностей, ортогональных к Г, с двумя действительными центрами, с другой стороны, семейство параллельных неевклидовых прямых, изображаемых пучком окружностей, ортогональных к Г, с одним центром. Теперь, естественно рассмотреть семейство неевклидовых прямых иного вида, изображаемых пучком окружностей, ортогональных к Г, с мнимыми центрами. Точки Понселе а, р этого пучка, очевидно, действительные и лежат на Г; они служат центрами пучка окружностей, ортогональных к рассматриваемому пучку. Внутренние к Г части окружностей, проходящих через а, р, назовём гиперциклами (фиг. 51).

Мы видели, что неевклидова окружность есть геометрическое место точек, неевклидово расстояние которых до данной точки — центра — есть величина постоянная. Покажем, что гиперцикл есть геометрическое место точек, неевклидово расстояние которых до данной неевклидовой прямой а? есть величина постоянная.

С этой целью выполним линейное преобразование, переводящее, а в бесконечность. Тогда область G, внутренняя к Г, преобразуется в полуплоскость, Г—в прямую Г| — границу этой полуплоскости, неевклидова прямая ар — в полупрямую, перпендикулярную к Г, в точке pi (фиг. 52). Вопрос сводится к тому, чтобы найти в полуплоскости геометрическое место точек М таких, что на окружности с центром р_ь проходящей через М, ангармоническое отношение (и, v, М, w) имело данную постоянную величину, где и, v — точки на Г|, w — точка на полупрямой.

Мы получим два геометрических места в зависимости от того, будет ли точка с одной или с другой стороны от полупрямой. Чтобы определить эти геометрические места, нужно ввести в рассмотрение четыре луча: uw, иМ, ии и касательную к окружности ь точке и, и заметить, что их ангармоническое отношение должно быть неизменным; это будет лишь в том случае, когда угол и$М сохраняет неизменную величину и, значит, точка М должна лежать на полупрямой pjAf. Итак, искомые геометрические места точки М в полуплоскости будут две симметричные относительно полупрямой jJjtp полупрямые.

Возвращаясь к фиг. 51, мы получаем два гиперцикла, проходящих через а, р, где они составляют равные углы с окружностью ар, ортогональной к Г (фиг. 53).

Резюмируя, мы скажем: часть любой окружности С, внутренняя к Г, есть неевклидова окружность, горицикл пли гиперцикл, смотря по тому

Фиг. 52.

Фиг. 53.

будет ли С внутренней, касательной или секущей окружностью с Г. Эти классы линий инвариантны при неевклидовом перемещении. Очевидно, неевклидова прямая есть частный вид гиперцикла.