Простое трансцендентное расширение поля

Пример простого трансцендентного расширения получаем, расширяя поле рациональных чисел с помощью трансцендентного числа л:

Теорема 4.5 (о строении простого трансцендентного расширения поля). Если а — трансцендентный над полем Р элемент, то простое трансцендентное расширение Р (а) изоморфно полю отношений кольиа многочленов Р[х], т.е. полю

Доказательство. Искомым изоморфизмом является, как легко проверить, отображение ф 1¹ -1¹ _{для лю}бого элемента.

sM

*. Существование простого алгебраического расширения поля и поля разложения данного многочлена

Определяя простое алгебраическое расширение Р (а), мы элемент, а брали в некотором расширении F поля Р. Покажем, как можно построить расширение Р (а) без предположения о существовании поля F.

Пусть ф (х) — минимальный многочлен алгебраического элемента а. Докажем, что факторкольцо Р[х]/(ф (х)) (факторкольцо кольца многочленов с коэффициентами из поля Р по идеалу, порожденному многочленом ф (х)) изоморфно полю Р (ос). Для любого смежного класса h (x) + (ф (х)> определим f (h (x) + (ф (х))) = h(ос). Легко проверить, что отображение/ является искомым изоморфизмом Р[х]/(ф (х)) на Р (а). При этом /(х + (ф (х)}) = а и для любого элемента а е Р f (а + (ф (х))) = а. В силу этого изоморфизма можно считать, что факторкольцо Р[х]/(ф (х)> является простым алгебраическим расширением поля Р. При этом роль элементов поля Р выполняет множество.

{а + (ф (х)) | а е Р}, а роль присоединяемого элемента, а — смежный класс х + (ф (х)).

Докажем существование поля разложения приведенного многочлена Дх) е Р[х], т. е. такого расширения F поля Р, которое содержит все корни а_г, ос₂, а_п данного многочлена. Благодаря этому многочлен Дх) над полем F можно разложить на линейные множители: Дх) = (х — а_х)(х — а₂) •? • (х — а_п). Известно, что над полем Р данный многочлен можно разложить в произведение неприводимых множителей: Дх) = фДх) • ср₂(х) • … • фДх). Факторкольцо Р[х]/(фДх)), как показано выше, является простым алгебраическим расширением Р (а_х), где а_х = х + (фДх)) является корнем данного многочлена Дх) е Р[х]. При этом мы считаем, что Р есть множество {а + фДх) | а е Р}. Над полем F_x имеем разложение Дх) = (х — аД • Д (х). Теперь рассмотрим многочлен Д (х) над полем Р₂ и повторим для него те же рассуждения. В результате получим простое алгебраическое расширение Р₂ = РДа₂), где а₂ является корнем многочлена Д (х). Но тогда над полем Р₂ имеем разложение /Дх) = (х — а₂) /₂(х), а значит, Дх) = (х — a_a)(x — сс₂) */₂(х). И т.д., на последнем шаге получим искомое поле F = F_n, которое содержит все корни данного многочлена.