Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений может быть представлена в виде.

или в развернутой форме.

где, А = {(!","} — квадратная матрица коэффициентов размером N х Л'; х = (х,…, Ху)¹ — вектор неизвестных размером N и f = (/_1; …,/д')¹ — заданный вектор правой части размером N.

Некоторые физические задачи непосредственно приводят к системам линейных уравнений, например статический анализ конструкций (мост, здание, несущая конструкция самолета), проектирование электрических сетей. Многие физические процессы описываются дифференциальными уравнениями, которые часто не могут быть решены аналитически. В этом случае строится приближенный, дискретный аналог этих дифференциальных уравнений, и это часто приводит к системам линейных уравнений (если дифференциальные уравнения линейные). Также системы линейных уравнений возникают как промежуточный этап в других вычислительных процессах. Например, одна из процедур решения систем нелинейных уравнений включает в себя решение набора систем линейных уравнений.

Классический метод решения систем линейных уравнений — метод Крамера, но он очень неэффективный и, следовательно, бесполезен с практической точки зрения. Для того чтобы решить этим методом систему с N неизвестными, необходимо вычислить N + 1 определитель, а это потребует ~N²N операций. Например, если N = 100 (довольно небольшая система), тогда N_ops ~ 10^lfi2. Обращение матрицы также неэффективный подход (если мы имеем, А ', тогда вычисление решения х тривиально: х = А Д), потому что обращение матрицы требует приблизительно в три раза больше вычислений и в два раза больше оперативной памяти по сравнению с другими методами решения систем линейных уравнений.

Для того чтобы выбрать тот или иной метод для решения системы (3.1), следует учитывать свойства матрицы А, такие как симметрия, определенность, ленточная структура и разреженность. Это позволяет решить систему линейных уравнений более эффективно. Выбор метода также зависит от типа решаемой проблемы, а именно:

• • тип 1 — решить систему линейных уравнений Ах = f один раз;
• • тип 2 — решить набор систем линейных уравнений Ах*= fk, k= 1,M_f где матрица, А остается неизменной для всех k.