Структура процентных ставок

Структура процентных ставок представляет интерес для анализа облигаций с точки зрения ценообразования и сравнительной оценки инструментов.

Кривая процентных ставок

Обычно величина процентной ставки зависит от того, на какой срок инвестор готов вложить деньги. Такая зависимость процентных ставок от срока называется срочной структурой процентных ставок (term structure of interest rates). Срочная структура процентных ставок графически иллюстрируется кривой доходности.

На рис. 5.2 в качестве примера приведены данные по структуре процентных ставок по казначейским облигациям США, где по оси абсцисс приведены данные о количестве лет до погашения, а по оси ординат — значение процентной ставки.

В зависимости от используемого показателя выделяют различные кривые процентных ставок. Так, если по оси ординат откладывается значение доходности к погашению, то такая кривая называется кривой доходности (yield curve). Однако в силу приведенных выше особенностей показателя доходности к погашению построение такой кривой нецелесообразно.

%.

Рис. 5.2. Кривая процентных ставок по казначейским облигациям США на 17 марта 2010 г.

По этой причине на практике при построении кривой предпочитают использовать доходности к погашению бескупонных облигаций. Такую кривую называют бескупонной кривой (zero-coupon curve), а представленные в ней ставки называют спот-ставками (spot rate). Если на рынке не обращается необходимое для построения кривой количество бескупонных облигаций, то бескупонные облигации могут быть сконструированы, а их цены — оценены на основе цен обращающихся купонных облигаций.

Построение кривой процентных ставок

Прежде всего, необходимо определиться с целью, которую преследует — инвестор при построении кривой. Наиболее часто кривую процентных ставок строят для расчета цены облигации и выявлении ее недооцененности или переоцененности относительно других ценных бумаг с сопоставимым уровнем риска.

На рынке уже могут быть построены некоторые кривые процентных ставок. В частности, в информационной системе Bloomberg можно найти кривые процентных ставок, построенные по государственным облигациям США, Великобритании, бумагам ипотечных агентств США, различным сегментам корпоративных бумаг. По каждой из этих кривых даются котировки доходности по нескольким основным точкам кривой: три месяца (3 т), шесть месяцев (6 т), один год (1 у), три года (3 у), пять лет (5у), 10 лет (10у) и т. д. Вместе с тем, инвестор может не понимать, каким образом следует искать ставки доходности между указанными сегментами (например, 6,25 лет). Конечно, можно воспользоваться линейной интерполяцией, но вот к какой ошибке может это привести при оценке конкретной облигации — заранее неизвестно. Более того, инвестору может понадобиться кривая спот-ставок по более узкому или более широкому спектру облигаций. Поэтому для аккуратного оценивания облигации инвестору следует сначала определить сегмент облигаций, по которому он собирается строить кривую, а затем выявить наиболее оптимальный метод ее построения и построить кривую процентных ставок.

Выбор сопоставимых облигаций

Сопоставимость облигаций определяется по нескольким параметрам. Рассмотрим их.

Валюта облигации. Уровни процентных ставок в разных валютах могут различаться, например, за счет разной политики центральных банков.

Кредитный риск. Для целей построения кривой необходимо выбирать облигации с сопоставимым уровнем кредитного риска. Идеально строить кривую процентных ставок по облигациям одного и того же эмитента, но здесь можно столкнуться с проблемой недостаточного количества выпусков. Для определения сопоставимых по кредитному риску ценных бумаг на практике используют кредитный рейтинг (облигации или эмитента). Кредитный рейтинг (credit rating) представляет собой совокупную оценку кредитного риска и отражает вероятность того, что заемщик заплатит по своим обязательствам полную сумму и точно в срок. Кредитный рейтинг оценивается рейтинговым агентством по заказу эмитента. Интерес эмитента заключается в минимизации расходов на заимствование в случае получения высокого рейтинга. Наиболее широкое распространение получили кредитные рейтинги, присваиваемые одним из трех международных рейтинговых агентств: Standard & Poor’s, Moody’s, Fitch Ratings. На рис. 5.3 приведены основные рейтинговые шкалы Standard & Poor’s и Moody’s. Рейтинговая шкала Fitch Ratings выглядит так же, как и у Standard & Poor’s.

Рис. 5.3. Рейтинговые шкалы Рейтинговые агентства имеют значительную историческую базу наблюдений по дефолтам и изменению рейтингов, что позволяет им оценивать для каждого из рейтингов вероятность дефолта и размер ожидаемых потерь в случае дефолта. Такого рода данные содержатся в годовых отчетах рейтинговых агентств и периодически пересматриваются.

Налогообложение. Желательно, чтобы все облигации в выборке облагались по одинаковым ставкам. Доходы по некоторым категориям облигаций могут облагаться по льготной ставке (например, в Российской Федерации купонные доходы по облигациям федеральных, региональных и муниципальных образований облагаются по льготной ставке).

Ликвидность. Под ликвидностью инструмента понимается возможность быстро продать его по существующей рыночной цене. Исследования выявили, что наиболее ликвидные облигации характеризуются наибольшими объемами в обращении, что позволяет использовать этот показатель в качестве одного из индикаторов ликвидности. Наиболее ликвидными на рынке чаще всего являются государственные облигации.

Выборка ценных бумаг должна быть достаточно большой для того, чтобы можно было использовать численные методы построения кривой.

Методы построения кривой процентных ставок. После определения выборки облигаций для построения кривой процентных ставок инвестор может воспользоваться одним из следующих методов ее построения:

• 1) метод подстановок (Bootstrapping);
• 2) метод ключевых ставок;
• 3) метод подбора функции.

Рассмотрим каждый из данных методов более подробно.

Метод подстановок основан на использовании доходностей к погашению краткосрочных бескупонных облигаций для получения доходностей к погашению долгосрочных облигаций. Данный метод отличается от других тем, что, не позволяя построить всю кривую, дает возможность оценить отдельные процентных ставки.

Сущность метода подстановок заключается в последовательном нахождении необходимых для расчета цены облигации значений спот-ставок из цен торгуемых на рынке облигаций, начиная со ставки дисконтирования ближайшего денежного потока. Схематично идея метода представлена на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Использование метода подстановок для извлечения спот-ставок из бескупонных и купонных облигаций Сначала определяется спот-ставка для наиболее близкого к текущей дате купонного платежа. Купоны по облигациям выплачиваются, как правило, несколько раз в год. Поэтому ставку дисконтирования ближайшего денежного потока по облигации можно оценить путем расчета доходности к погашению по бескупонной облигации или купонной облигации, оставшийся период до погашения которой равен периоду до выплаты ближайшего денежного потока по облигации. После нахождения ставки дисконтирования ближайшего денежного потока необходимо найти купонную облигацию, имеющую до погашения два денежных потока, период выплаты которых совпадает с периодами выплат по оцениваемой облигации инвестора. Первый купон по такой облигации может быть приведен к текущей стоимости посредством найденной на первом этапе спот-ставки. После этого можно вычислить ставку дисконтирования по второму купону, которая будет второй спот-ставкой для оцениваемой облигации. Если применять этот метод, то при наличии на рынке необходимых облигаций можно найти все требуемые для оценки значения спот-ставок.

Данный метод наиболее эффективен в том случае, если облигации выпускаются в соответствии с долгосрочными программами выпусков, что наиболее характерно для государственных или крупных институциональных заемщиков. В этом случае облигации выпускаются регулярно в одни и те же даты, и все купоны по всем облигациям, выпущенным в рамках одной программы, выплачиваются в один и тот же день.

Пример 5.3

Проиллюстрируем метод подстановок на примере оценки справедливой цены облигации правительства Германии на 18 октября 2011 г. со следующими параметрами: дата погашения 4 июля 2013 г., ставка купона равна 5%, купон выплачивается один раз в год. «Грязная» рыночная цена такой облигации на этот момент составляла 102. Предположим, что на рынке имеются следующие бумаги правительства Германии с выплатой купона раз в год (табл. 5.1).

Таблица 5.1. Облигации правительства Германии.

Бумаги подобраны таким образом, что денежные потоки по ним совпадают с денежными потоками по оцениваемой облигации. Сначала оценим доходность к погашению первой облигации, где остался только один денежный поток, по следующей формуле:

Спот-ставка на период 260 дней составила 4,058%. Затем оценим спот-ставку на период 625 дней, используя данные по второй облигации:

Ставка составила 4,103%. Теперь можно рассчитать «грязную» цену искомой облигации и сравнить ее с рыночной ценой:

Расчетная цена 102,8736 выше рыночной цены (102). Соответственно инвестор может приобрести данную облигацию на рынке в расчете на будущее выравнивание относительных цен облигаций в данной группе.

Основными преимуществами использования метода подстановок является оптимальный подбор ставок в необходимых точках на основе использования принципа безарбитражности. Данный метод является наиболее точным из всех приведенных далее методов для оценки конкретной ценной бумаги, но одновременно и наиболее трудно применимым на практике. На рынке зачастую нет котируемых бумаг, периоды выплаты денежных потоков по которым точно совпадали бы с денежными потоками по искомой облигации, а по некоторым участкам кривой (после 10 лет) котируется крайне мало бумаг. Данный метод можно использовать для оценки облигации с небольшим сроком до погашения только тогда, когда на рынке есть большое количество сопоставимых ценных бумаг, которые выпускаются с определенной регулярностью. Кроме того, безарбитражность при использовании данного метода достигается только с теми облигациями, котировки которых участвовали в расчете спот-ставок, а не со всей выборкой сопоставимых бумаг. Другими словами, инвестор в рамках данного метода не может использовать при построении кривой всю информацию, заложенную в котировках всех сопоставимых бумаг.

Другой недостаток метода связан с тем, что используя результаты метода подстановок с помощью линейной интерполяции можно получить кривую процентных ставок (соединение известных значений ставок на кривой прямыми линиями), которая будет идеально подходить для оценки конкретной оцениваемой облигации, но может привести к ошибкам при оценке других облигаций, периоды денежных потоков по которым не совпадают с периодами спот-ставок, определенных с помощью метода подстановок.

Другим методом расчета кривой процентных ставок является метод ключевых ставок. Основная идея метода заключается в том, чтобы путем минимизации квадрата отклонений рыночных цен от расчетных цен получить оптимальные значения процентных ставок в ключевых точках.

Алгоритм метода выглядит следующим образом:

• 1) на первом этапе необходимо определить, ставки с каким сроком являются ключевыми и будут оценены непосредственно. Ставки с другими сроками будут оценены с помощью интерполяции. Инвестор может выбрать любые точки на кривой (например: 1day, 1m, 6т, 1у, 3у, 5у, 10у, 15у, 30у). Какого-либо оптимального правила для выбора ключевых точек нет, однако точка с минимальным сроком до погашения должна быть меньше ближайшей даты получения денежных средств по любой из облигаций выборки, а точка с максимальным сроком — больше даты погашения любой из облигаций выборки. Между двумя любыми точками должен попадать как минимум один денежный поток. Начальные значения ключевых ставок можно выбирать произвольно;
• 2) выбирается закон изменения ставок между ключевыми точками. Обычно применяется линейная интерполяция, что на графике представляет собой соединение ключевых точек кривой прямой линией. Можно использовать и любой другой способ интерполяции — сути метода это не меняет;
• 3) для каждой облигации в выборке записываются выражения для нахождения цен облигаций с использованием дисконтирования денежных потоков по ставкам, рассчитанным из значений выбранных ранее ключевых ставок с помощью выбранного закона расчета ставок в промежуточных точках. Например, если для построения кривой выбраны ключевые точки шесть месяцев и один год, то цена бескупонной облигации, которая будет погашена через девять месяцев, будет записана в следующем виде:

Таким образом, для подбора цены девятимесячной облигации необходимо будет изменять процентных ставки за шесть месяцев и один год;

• 4) по всей выборке облигаций рассчитываем квадрат отклонения вычисленных на предыдущем шаге цен от рыночных: . При этом необходимо использовать «грязные» рыночные цены облигаций;
• 5) возвращаемся к шагу 3 и корректируем ставки до тех пор, пока квадрат отклонения цен не снизится до некоторого заранее заданного значения;
• 6) соединяем значения ключевых ставок в соответствии с законом, выбранным на шаге 2, и получаем кривую процентных ставок.

Данный метод является достаточно эффективным, однако получаемая форма кривой является далеко не идеальной и не гладкой. Метод дает лишь приближенное представление о кривой, так как минимизация ошибки отклонения не исключает наличия такой ошибки в принципе.

Следующим методом построения кривой является метод подбора функции. Это целый класс методов построения кривой спот-ставок, основанный на численном подборе параметров функции всей кривой сразу. Методы различаются выбором вида функции. Наиболее распространенным на практике методом данного класса является метод Нельсона — Зигеля, который фокусируется на получении кривой спот-ставок следующего вида:

В данной функции параметр ?0 можно интерпретировать как долгосрочную ставку либо как уровень кривой спот-ставок. Параметр ?1 — это спред между краткосрочными и долгосрочными процентными ставками, т. е. этот параметр задает наклон кривой доходности. Параметр ?2 соответствует разнице между среднесрочными и долгосрочными процентными ставками, т. е. показывает величину «горба» кривой. Параметр а — константа, он показывает, при каком сроке до погашения «горб» функции достигает своего максимума. В качестве данного параметра обычно берется единица, но на результаты это практически не влияет, так как все учитывается в коэффициентах.

В принципе, данная регрессия в идеале должна быть оценена с помощью метода наименьших квадратов по бескупонным облигациям, в предположении, что т представляет собой срок до погашения облигации, а r(?) — соответствующую ставку доходности до погашения, которая в случае бескупонной облигации совпадает со спот-ставкой. В связи с тем что бескупонные облигации встречаются, как правило, только в коротком сегменте кривой, на практике применяется три основных подхода:

• 1) оценка регрессии по выборке из бескупонных и купонных облигаций. По купонным облигациям в качестве периода до погашения берется величина дюрации (будет определена ниже), представляющая собой средневзвешенный срок до погашения, а в качестве спот-ставки — доходность к погашению. Данный подход наименее сложен, но может привести к смещенным результатам. По признанию большинства исследователей, такой подход наиболее приемлем в тех случаях, когда необходимо найти структуру ставок при небольшом количестве торгуемых бумаг и одновременно получить гладкую форму кривой;
• 2) второй подход основан на проведении предварительной работы по определению как можно большего количества спот-ставок по методу подстановок из тех облигаций, где это можно сделать. После этого по выявленным спот-ставкам и их срокам оценивается регрессия. Данный подход достаточно трудоемок и не может гарантировать получение приемлемого результата;
• 3) наиболее распространенным на практике является подход, определяемый из понимания кривой как набора спот-ставок, при дисконтировании по которым рассчитываются текущие рыночные цены (или наиболее близкие к ним). В данном случае коэффициенты формулы (беты) подбираются таким образом, чтобы при оценке по кривой получилось минимальное значение квадрата отклонения расчетных цен от рыночных цен :

С точки зрения оценки коэффициентов метод Нельсона — Зигеля ничем не отличается от алгоритма метода ключевых ставок, кроме использования другого закона определения спот-ставок.

Метод подбора функции достаточно прост в использовании и дает хорошие практические результаты. Однако он не имеет под собой какой-либо теоретической основы, а лишь только принимает во внимание стандартные формы кривых. Более того, модель подразумевает, что долгосрочные ставки имеют непосредственное влияние на краткосрочные из-за спецификации модели, что означает, что определенные сегменты кривой не могут меняться при неизменности остальных, что не всегда верно на практике, где может присутствовать значительная сегментация рынка.

После построения кривой спот-ставок одним из указанных выше методов инвестор может оценить облигацию с использованием полученных значений спот-ставок. Для оценки облигации может быть использована формула (5.1) при ее незначительной модификации (если необходимо), исходя из проспекта эмиссии облигации. В дальнейшем инвестор может сравнить расчетную цену с существующей на рынке «грязной» ценой облигации и сделать вывод о переоцененности или недооцененности данной облигации. Оптимальной стратегией в случае, если расчетная цена окажется ниже рыночной, является продажа данной облигации из портфеля. Если же расчетная цена окажется выше рыночной, то инвестору следует приобрести данную облигацию в надежде на дальнейшее выравнивание цен на рынке и соответственно рост ее цены.