Дифференциальные уравнения диффузии

Рассмотрим теперь дифференциальные уравнения, связанные с законами Фика.

Уравнение диффузии — частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В случае трёхмерной диффузии первый закон Фика имеет вид:

где j — плотность потока диффузанта через единицу поверхности.

Второй закон Фика:

В простейшем случае одномерной диффузии (например, диффузии в неограниченной пластине) двумя основными дифференциальными формами загнои nHfhfhvrmn Фикя якпяютгя¹

Ур.9а даёт скорость проникновения диффузанта через единицу поверхности некоторой среды при стационарном состоянии потока, выраженную через градиент концентрации и постоянную, называемую коэффициентом диффузии D[cm²/c]; S — площадь поверхности [см²], через которую проходит диффузионный поток. Ур.96 определяет накопление диффузанта в определенной точке среды как функцию времени. Уравнение относится к нестационарному состоянию потока.

В неоднородной среде коэффициент диффузии является функцией координаты, тогда:

D = f (x, y, z) и.

В анизотропной среде, диффузия идёт по каждой из координатной оси со своим коэффициентом диффузии D_x, D_y и D_z. Если D=const, то:

Если воспользоваться подстановкой то полупим обычную форму диффузионного уравнения:

При осложнении диффузии другими параллельно идущими процессами ход процесса описывается выражениями, отличными от решений «классических» уравнений диффузии. Предположение о постоянстве D оправдывается не всегда — часто коэффициент диффузии зависит от концентрации диффузанта, градиента концентрации, пространственной координаты и времени диффузионного эксперимента (а иногда — от всех этих параметров вместе взятых). Уравнение i-го закона Фика при этом остаётся неизменным, а при выводе уравнения 2-го закона D, как переменную величину не выносят за знак повторного дифференцирования.

Если коэффициент диффузии зависит от времениD=J[t), то можно воспользоваться решениями уравнений для постоянного коэффициента диффузии, используя подстановку:

Ур.9а предполагает, что площадь поперечного сечения образца, перпендикулярного диффузионному потоку 5, а также параметр D постоянен. Однако они могут быть переменными. Пусть площадь поперечного сечения тела, перпендикулярного диффузионному потоку S, переменна. Разобьём тело на ряд элементарных объёмов длиной dr и введём понятие трубки тока. Диффузия по такой трубке описывается дифференциальным уравнением:

где г — некоторое произвольное направление (оно может быть изогнутым). Замечание. Любая неоднородность сечения замедляет диффузию: расширения, способствуя увеличению посещаемого частицей объёма, играют роль энтропийных ям, тогда как сужения, затрудняя переходы частицы из одной области в другую, — энтропийных барьеров. Вариация формы вдоль оси трубки переменного сечения порождает зависимость энтропии диффундирующей частицы от её положения.

Рис. 4. Деление диффузионного тока на элементарные объёмы.

В стационарном состоянии диффузии (например, при проницаемости мембраны).

Это уравнение называется уравнением Лапласа.

Замечание. Распределение концентрации диффузанта по толщине образца называется стационарным, если концентрацияС зависит от положения точки (x, yjs), но не зависит от времениt, т. е. C=C (x, y, z).

Неоднородное уравнение.

AC=-f[x), X=(Xi, х₂,…"Хт) носит название уравнения Пуассона.

Сферические координаты Трёхмерное уравнение диффузии может быть выражено в сферических координатах г, 0 и (р при помощи уравнений преобразования: x=rsin0cos (p, y=rsin0sin.

Тогда уравнение для 2-го закона Фика принимает вид:

Если положить5(г)=2л?'/?, где h — высота цилиндра (h=const)> получим уравнение диффузии для неограниченного цилиндра (h"R, где R — радиус цилиндра).