Оптимальный размер партии поставки с учетом временной стоимости денег

Рассмотрим отдельно случай, когда случайный спрос на товар для анализируемого периода времени [0; Т], применительно к которому реализуется одноразовая поставка, имеет равномерное распределение вероятностей на [а; в]. Напомним, что в таком случае f (x) = 1/(в — а) для х(а; в) и f (x) = 0 для х (а; в). Следовательно, интересующие нас определенные интегралы будут представлены следующими функциями переменной q:

Заметим, что сумма последних двух найденных выражений составляет.

Наконец,.

.

Поэтому, для среднего ожидаемого суммарного дохода Д (q) к моменту окончания периода времени [0; Т] получаем следующее равенство, представляющее этот показатель как функцию переменной q:

Д (q)=(1+ ) (С_П+Р_П)

Соответственно интересующая нас функция F (q) для анализируемого случая принимает вид.

F(q)=(1+ ) (С_П+Р_П)

Избавляясь здесь от выражений (слагаемых), которые не зависят от выбора объема поставляемой партии товара, домножая при этом для удобства записи оставшееся выражение на 2(b-a) и меняя его знак на противоположный, рассмотрим эквивалентную задачу минимизации полученной таким образом функции f (q), т. е. задачу.

f (q)=

Легко видеть, что здесь первое слагаемое представляет собой линейную функцию (переменной q), а второе — гиперболу. Единственную точку минимума (обозначим ее через q⁰) находим из так называемых условий первого порядка (из уравнения). А именно, опуская промежуточные преобразования (из-за ограниченности объема работы), приведем окончательную формулу для соответствующей точки минимума:

Заметим, что очевидным образом выполняется неравенство q⁰ a. В частности, при отсутствии накладных расходов (т.е. при С₀ = 0) получаем равенство q⁰ = a. При очень больших накладных расходах (т.е. в случае С₀ >) может оказаться, что найденный параметр q⁰ окажется большим, чем b, т. е. точка минимума функции f (q) не попадет в область соответствующих ограничений q. Оптимальное значение q^* объема одноразовой поставки в рамках рассматриваемой модели находим с учетом указанных ограничений и отмеченного ранее вида графика оптимизируемой функции.