Уравнение неразрывности в переменных Эйлера в декартовой системе координат

Уравнение неразрывности (сплошности) выражает закон сохранения массы. Для вывода уравнения выделим в массе жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 4.18).

Рис. 4.18. Элементарный параллелепипед.

Пусть точка т с координатами х, у, z находится в центре этого параллелепипеда. Плотность жидкости в точке т будет.

Найдем массу жидкости, втекающей в параллелепипед и вытекающей из него через противоположные грани за время dt. Масса жидкости, втекающей через левую грань за время dt в направлении оси х, равна.

где и  — плотность и проекция скорости на ось х в точке 1.

Функция является непрерывной функцией координаты х. Разлагая эту функцию в окрестности точки т в ряд Тэйлора с точностью до бесконечно малых первого порядка, для точек 1 и 2 на гранях параллелепипеда получим следующие ее значения:

Масса жидкости, вытекающей через правую грань за время dt в направлении оси х, будет равна.

Разность между массой втекающей и вытекающей жидкости в направлении оси х за время dt будет равна.

Аналогично для осей у и z получим.

Если жидкость полностью занимает рассматриваемый объем, то согласно закону сохранения массы сумма найденных разностей масс должна быть равна приращению массы жидкости в том же объеме, вызванному изменением плотности р за время dt, т. е.

Известно, что

Подставляя значения в уравнение закона сохранения масс, получаем.

(4.14).

Так как.

то, подставляя последние соотношения в уравнение (4.14), будем иметь.

(4.15).

Соотношение (4.15) является уравнением неразрывности сжимаемой жидкости. Выражение в скобках в соотношении (4.15) называется дивергенцией вектора скорости. Поэтому соотношение можно записать как.

Для установившегося движения частная производная от плотности по времени равна нулю , и уравнение (4.14) принимает вид.

При установившемся движении несжимаемой жидкости (? = const) уравнение неразрывности будет.

или

Уравнение неразрывности для элементарной струйки имеет вид.

т.е. массовые расходы во всех сечениях элементарной струйки одинаковы.

Для потока.

Если жидкость несжимаема, то.

Отсюда следует, что

Так как , то

Отсюда.

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям живых сечений потока (рис. 4.19). Объемный расход Q несжимаемой жидкости остается постоянным вдоль канала.

Рис. 4.19. Схема к выводу уравнения неразрывности.

Дифференциальные уравнения движения идеальной (невязкой) жидкости (уравнения Эйлера)

Невязкой или идеальной жидкостью называют жидкость, частицы которой обладают абсолютной подвижностью. Такая жидкость неспособна сопротивляться сдвигающим усилиям и поэтому касательные напряжения в ней будут отсутствовать. Из поверхностных сил в ней будут действовать только нормальные усилия.

Предел отношения.

в движущейся жидкости называется гидродинамическим давлением.

Сила гидродинамического давления направлена по внутренней нормали к площадке (сжимающее усилие), на которую она действует.

Величина гидродинамического давления не зависит от ориентировки площадки (что доказывается аналогично доказательству для гидростатического давления).

Для вывода уравнений движения жидкости выделим элементарный параллелепипед в массе жидкости с ребрами dx, dy, dz (рис. 4.20). Пусть точка т с координатами х, у, z находится в центре этого параллелепипеда. Давление в точке т будет р = f(x, у, z, t). Компоненты массовых сил, отнесенных к единице массы, пусть будут X, Y, Z.

Рис. 4.20. Схема сил, действующих на элементарный параллелепипед.

Запишем условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось х:

(4.16).

где и - силы гидростатического давления; - равнодействующая массовых сил тяжести; - равнодействующая сил инерции.

Силы гидростатического давления равны произведению гидростатических давлений в центрах тяжести элементарных площадок (в точках 1 и 2) на их площади:

Давления и определяются по формулам (см. параграф 3.3).

Эти формулы показывают, на сколько давление р в точке т отличается от давлений в точках 1 и 2.

Формула для определения равнодействующей массовых сил имеет вид.

где  — масса элементарного параллелепипеда.

Равнодействующая сил инерции определяется в виде произведения массы элементарного параллелепипеда на его ускорение:

Знак «минус» указывает на то, что сила инерции направлена противоположно направлению оси х.

Подставляя выражения для F1, F2, Fм, Fи в формулу (4.16), получаем.

Отсюда.

Если рассматривать условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед в проекциях на оси у и z, то получим еще два уравнения:

Записывая последние три уравнения в развернутом виде, получаем уравнения движения Эйлера для идеальной невязкой жидкости, выведенные им в 1775 г.:

В случае несжимаемой невязкой жидкости () система уравнений Эйлера имеет четыре неизвестных: ?x, ?y, ?z, р. Так как уравнений 3, а неизвестных 4, то система в данном случае оказывается незамкнутой. Для того чтобы она была замкнутой, необходимо добавить еще одно уравнение. Таким уравнением будет уравнение неразрывности.

Для получения конкретных однозначных решений замкнутой системы дифференциальных уравнений необходимо задать условия однозначности, которые включают следующие условия:

• 1) геометрические (линейные размеры рассматриваемой области);
• 2) физические (физические константы, характеризующие жидкость);
• 3) начальные (значения искомых функций в начальный момент времени);
• 4) граничные (значения искомых функций на границе области).

Система дифференциальных уравнений с условиями однозначности представляют полную математическую постановку задачи.