Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΡ‹, курсовыС, Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅...
Брочная ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² ΡƒΡ‡Ρ‘Π±Π΅

Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств. 
БоотвСтствия. 
Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΈΡ… свойства. 
ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΡ‚Π²Ρƒ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ понятиСм. Рассмотрим Π΄Π²Π° мноТСства: ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ (Π›), состоящСС ΠΈΠ· 11 учащихся, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ (Π’), состоящСС ΠΈΠ· 7 Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ². Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ прямоС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих мноТСств, Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ всС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ «ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ — Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄». Из ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° всСх Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ лишь Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ «ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚» ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° с Ρ‚Π΅ΠΌ Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π²Π°Π». ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ «ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ» Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€ «ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств. БоотвСтствия. Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΈΡ… свойства. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. Школьникам Π΄Π°Π»ΠΈ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Ρƒ ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π΅Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΊΡ€Π°ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎΠ΄Π½Π΅ΠΉ Π΅Π»ΠΊΠΈ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· А мноТСство Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΡƒΠΊΡ€Π°ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (А = {Π·Π²Π΅Π·Π΄ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, снСТинка, Ρ„ΠΎΠ½Π°Ρ€ΠΈΠΊ, гирлянда}), Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π’ мноТСство ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² (Π’ = {красная, синяя, голубая, зСлСная, розовая, бСлая}). ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡƒΠΊΡ€Π°ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, учитывая Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ для Π½ΠΈΡ… расцвСтки. Для этого составим список всСх ΠΏΠ°Ρ€ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² мноТСства А ΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² мноТСства Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сначала Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ элСмСнт мноТСства А, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ элСмСнт мноТСства Π’. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ мноТСство Π‘ упорядочСнных ΠΏΠ°Ρ€ элСмСнтов мноТСств А ΠΈ Π’. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ издСлия ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ с ΠΎΡΠΎΠ±Ρ‹ΠΌ мноТСством, составлСнным ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… мноТСств. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств (Ρ‚Π°Π±Π». 2.4).

Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ прямым) ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ мноТСства А Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π’ называСтся мноТСство всСх упорядочСнных Π½Π°Ρ€, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… пСрвая ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° — элСмСнт мноТСства Ау Π° Π²Ρ‚орая — элСмСнт мноТСства Π’. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ А β€’ Π’.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, А β€’ Π’ = { (Ρ…, Ρƒ)Ρ… САиу Π΅Π’}.

ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСства А ΠΈ Π’ окаТутся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ. Рассмотрим ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Школьники Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΊΠΈ: ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π»ΠΎΠΆΠΊΡƒ ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΡŽΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ²: синий, красный, Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ, ΠΆΠ΅Π»Ρ‚Ρ‹ΠΉ.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· А — мноТСство Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΠ±Π»ΠΎΠΆΠΊΠΈ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π’ — мноТСство Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ части. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: А = Π’ = {синий, красный, Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ, ΠΆΠ΅Π»Ρ‚Ρ‹ΠΉ}. МоТно ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ список Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… сочСтаний Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² для ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΊΠΈ: Ρ†Π²Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π»ΠΎΠΆΠΊΠΈ ΠΈ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ части.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 2.4

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π΅Π»ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠΊΡ€Π°ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

А

Π²

Π—Π²Π΅Π·Π΄ΠΎΡ‡ΠΊΠ°.

Π‘Π½Π΅ΠΆΠΈΠ½ΠΊΠ°.

Π€ΠΎΠ½Π°Ρ€ΠΈΠΊ.

Гирлянда.

ΠšΡ€Π°ΡΠ½Π°Ρ.

Π—Π²Π΅Π·Π΄ΠΎΡ‡ΠΊΠ° — красная.

Π‘Π½Π΅ΠΆΠΈΠ½ΠΊΠ° — красная.

Π€ΠΎΠ½Π°Ρ€ΠΈΠΊ — красный.

Гирлянда — красная.

Биняя.

Π—Π²Π΅Π·Π΄ΠΎΡ‡ΠΊΠ° — синяя.

Π‘Π½Π΅ΠΆΠΈΠ½ΠΊΠ° — синяя.

Π€ΠΎΠ½Π°Ρ€ΠΈΠΊ — синий.

Гирлянда — синяя.

Голубая.

Π—Π²Π΅Π·Π΄ΠΎΡ‡ΠΊΠ° — голубая.

Π‘Π½Π΅ΠΆΠΈΠ½ΠΊΠ° — голубая.

Π€ΠΎΠ½Π°Ρ€ΠΈΠΊ — Π³ΠΎΠ»ΡƒΠ±ΠΎΠΉ.

Гирлянда — голубая.

ЗСлСная.

Π—Π²Π΅Π·Π΄ΠΎΡ‡ΠΊΠ° — зСлСная.

Π‘Π½Π΅ΠΆΠΈΠ½ΠΊΠ° — зСлСная.

Π€ΠΎΠ½Π°Ρ€ΠΈΠΊ — Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΉ.

Гирлянда — зСлСная.

Розовая.

Π—Π²Π΅Π·Π΄ΠΎΡ‡ΠΊΠ° — розовая.

Π‘Π½Π΅ΠΆΠΈΠ½ΠΊΠ° — розовая.

Π€ΠΎΠ½Π°Ρ€ΠΈΠΊ — Ρ€ΠΎΠ·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ.

Гирлянда — розовая.

БСлая.

Π—Π²Π΅Π·Π΄ΠΎΡ‡ΠΊΠ° — бСлая.

Π‘Π½Π΅ΠΆΠΈΠ½ΠΊΠ° — бСлая.

Π€ΠΎΠ½Π°Ρ€ΠΈΠΊ — Π±Π΅Π»Ρ‹ΠΉ.

Гирлянда — бСлая.

ОбъСдиняя всСми Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ способами Ρ†Π²Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· А с Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π’ = А, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ элСмСнты прямого произвСдСния мноТСства А «ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ называСтся прямым ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ся: А, А = А2.

Из ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ каТдая ΠΏΠ°Ρ€Π° прямого произвСдСния Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ упорядочСна — ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΊΠ° с ΠΊΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»ΠΎΠΆΠΊΠΎΠΉ ΠΈ Ρ ΡΠΈΠ½Π΅ΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ отличаСтся ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΊΠΈ с ΡΠΈΠ½Π΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»ΠΎΠΆΠΊΠΎΠΉ ΠΈ Ρ ΠΊΡ€Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ.

Для описания прямого произвСдСния мноТСств Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ «Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚ричСский язык». ΠŸΡ€ΠΈ этом элСмСнты мноТСства А β€’ Π’ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. НапримСр, Ссли z = (Ρ…, Ρƒ), Ρ‚ΠΎ Ρ… Π΅ А называСтся абсциссой, Π° Ρƒ Π΅ Π’ — ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ z. Π’ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ с ΡΡ‚ΠΈΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ плоскости ΠΏΠΎ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Ρƒ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ элСмСнтами прямого ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° R β€’ R = R2 мноТСства R Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

На Ρ€ΠΈΡ. 2.29 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ элСмСнты Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° произвСдСния мноТСств А = {1, 2, 3} ΠΈ Π’ = {4, 5, Π±, 7}. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ способ нахоТдСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ числа элСмСнтов Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств: Ссли Ρ‚ (А) = ΠΏ, Ρ‚ (Π’) = k, Ρ‚ΠΎ Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств. БоотвСтствия. Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΈΡ… свойства. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2.44. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (2.4) для подсчСта количСства Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл. Π”Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π·Π° ΡƒΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ, Π³Π΄Π΅ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ мСстС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° А = {1, 2, 3, 4, 5, Π±, 7, 8, 9}, Π° Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ — ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° Π’ = {0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, Ρ‚. Π΅. Π·Π° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ прямого произвСдСния этих мноТСств, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: Ρ‚ (А) = 9, Ρ‚ (Π’) = 10, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ (А β€’ Π’) = = 9 β€’ 10 = 90. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, всСго имССтся 90 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств А = { 1, 2, 3} ΠΈΠ― = {4, 5, 6, 7}.

Рис. 2.29. Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств А = { 1, 2, 3} ΠΈΠ― = {4, 5, 6, 7}.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΡ‚Π²Ρƒ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ понятиСм. Рассмотрим Π΄Π²Π° мноТСства: ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ (Π›), состоящСС ΠΈΠ· 11 учащихся, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ (Π’), состоящСС ΠΈΠ· 7 Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ². Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ прямоС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих мноТСств, Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ всС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ «ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ — Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄». Из ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° всСх Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ лишь Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ «ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚» ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ° с Ρ‚Π΅ΠΌ Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π²Π°Π». ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ «ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ» Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€ «ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ — извСстный Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄» Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ подмноТСством Q Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° произвСдСния. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ «ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ» ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ±Ρ‹Π²Π°Π» ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ (Ρ‚Π°Π±Π». 2.5).

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 2.5

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π°Ρ… ΠΏΠΎΠ±Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈ

ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ.

^Π“ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ Π£Ρ‡Π΅Π½1Π–^.

Москва.

Π’ΡƒΠ»Π°.

ОдСсса.

Π’Π°ΠΌΠ±ΠΎΠ².

Π’ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΆ.

Π›ΠΈΠΏΠ΅Ρ†ΠΊ.

Π•Π»Π΅Ρ†.

ΠŸΠ΅Ρ‚Ρ.

X.

X.

X.

X.

Вася.

X.

X.

X.

Коля.

X.

X.

X.

Баша.

X.

X.

Π›Π΅Π½Π°.

X.

X.

X.

ΠžΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π». 2.5

^Π“ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ Π£Ρ‡Π΅Π½Ρˆ^^.

Москва.

Π’ΡƒΠ»Π°.

ОдСсса.

Π’Π°ΠΌΠ±ΠΎΠ².

Π’ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΆ.

Π›ΠΈΠΏΠ΅Ρ†ΠΊ.

Π•Π»Π΅Ρ†.

Ваня.

X.

X.

X.

Π˜Ρ€ΠΈΠ½Π°.

X.

X.

Π’Π΅Ρ€Π°.

X.

X.

АндрСй.

X.

X.

X.

Витя.

X.

X.

X.

ΠšΠ°Ρ‚Ρ.

X.

X.

МоТно ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ данная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами мноТСств А ΠΈ Π’.

Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств А ΠΈ Π’ установлСно соотвСтствиС Ρ€, Ссли Π² ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ А β€’ Π’ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ подмноТСство Q. Если ΠΏΠ°Ρ€Π° (Π°, Π¬) Π΅ ΠžΡΠ› Π’, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ элСмСнты Π° ΠΈ b мноТСств А ΠΈ Π’ находятся Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€ (ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ apb).

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ соотвСтствия: ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Ρ‹ мноТСства А (студСнт) ΠΈ Π’ (мноТСство Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ). Π£Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ «ΡΡ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚ Π° учится Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ Π¬» Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСством студСнтов ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π³Π°Π΅Ρ‚ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ А, b — мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π’. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ соотвСтствиСм, Ρ‚. Π΅. соотвСтствиСм ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя мноТСствами А ΠΈ Π’.

Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ соотвСтствия ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ (Ρ‚Π°Π±Π». 2.6) (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, расписаниС занятий) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°ΠΌΠΈ (рис. 2.30).

РасписаниС занятий Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°.

Рис. 2.30. РасписаниС занятий Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°

РасписаниС занятий Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹.

—~-^_Π”Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈ ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ ^

ПонСдСльник

Π’Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π°

ПСдагогика

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

Π€ΠΈΠ·ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Π°

Если соотвСтствиС Ρ€ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ мноТСства, Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΡΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами этого мноТСства Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ А двухмСстноС (Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ΅) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ А2 этого мноТСства Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ подмноТСство Q.

Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ Π›, называСтся всякоС подмноТСство Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° произвСдСния А β€’ А.

ΠœΠ΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, сколько ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ (двухмСстныС) ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ (трСхмСстныС) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ соотвСтствия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ X ΠΈ X Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ X, Ρ‚. Π΅. соотвСтствиями ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ мноТСства (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… мноТСств). НапримСр, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ «2 > 1», «3 = 3», «Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Ρ… ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° Ρƒ» ΠΈ Π΄Ρ€.

НапримСр, возьмСм Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ элСмСнтов мноТСства А ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ людСй (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΅Π·Π΄Π΅). И Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€ Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠΌ мноТСствС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Π΄Π²Π° Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° ΠΈΠ· А Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ мСсяцС (ΠΈΠΎΠ΄ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π·ΠΎΠ΄ΠΈΠ°ΠΊΠ°; ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π° ΠΈ ΠΏΡ€.). И Π΅Ρ‰Π΅ элСмСнт Π°Π› ΠΈΠ· А Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ 8 с ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ Π°2 ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ мноТСства, Ссли, допустим, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ростом, Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ (ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅, тяТСлСС ΠΈ ΠΏΡ€.).

Из ΡΡ‚ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ваня Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ мСсяцС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠŸΠ΅Ρ‚я, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎ ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅ — ΠŸΠ΅Ρ‚Ρ родился Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ мСсяцС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π’аня. Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ваня Ρ€ ΠŸΠ΅Ρ‚я, Ρ‚ΠΎ ΠŸΠ΅Ρ‚я Ρ€ Π’аня. Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ обстоит с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (8): Ссли Ваня ростом Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠŸΠ΅Ρ‚ΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠŸΠ΅Ρ‚я ростом Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π’Π°Π½ΠΈ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ свойства. Рассмотрим основныС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Π‘Πž) Ρ€, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ А, называСтся рСфлСксивным, Ссли любой элСмСнт этого мноТСства находится Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ с ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ собой, Ρ‚. Π΅.

Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств. БоотвСтствия. Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΈΡ… свойства. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся симмСтричным, Ссли ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π° (Π°, b) находится Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€, слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚ричная Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π° (Π¬, Π°) Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ находится Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‚. Π΅.

Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств. БоотвСтствия. Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΈΡ… свойства. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся антисиммСтричным, Ссли.

Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств. БоотвСтствия. Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΈΡ… свойства. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ, Ссли.

Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств. БоотвСтствия. Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΈΡ… свойства. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ рСфлСксивного ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равСнства, Π½Π΅ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ — ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ «Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅» ΠΈΠ»ΠΈ «ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅» Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл (Ρ‚Π°Π±Π». 2.7).

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 2.7

Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (опрСдСлСния).

Π‘Πž Ρ€, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ А, являСтся.

Если выполняСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ условиС.

РСфлСксивным.

Vtf € А: Π°Ρ€Π°

Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ.

/Π° Ρƒ b Π΅ А: apb => Π¬Ρ€Π°

Антис ΠΈ ΠΌ ΠΌ Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‡ Π½ Ρ‹ ΠΌ.

Wi, bА: apb Π» Π¬Ρ€Π° => Π° = b

Π’Ρ€Π°Π½Π·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ.

Vtf, by с Π΅, А: apb Π» Ьрс => арс

Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ свойствами рСфлСксивности, симмСтричности ΠΈ Ρ‚ранзитивности, называСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ эквивалСнтности (ΠΈΠ»ΠΈ просто ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ).

Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ пСрСчислСниСм всСх ΠΏΠ°Ρ€ ΠΈΠ· А β€’ Ау ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ характСристичСского свойства, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ всС элСмСнты ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°. Для этого элСмСнты мноТСства Π› ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ Π²Π²ΠΎΠ΄ΡΡ‚ соглашСниС: Ссли Ρ…Ρ€Ρƒ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ… проводят стрСлку ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρƒ. Если Ρ…Ρ€Ρ…, Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† стрСлки ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ стрСлку Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ‚Π»Π΅ΠΉ. Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ построСния, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ — ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, соСдинСнныС стрСлками, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°, Π° ΡΠ°ΠΌΠΈ стрСлки — Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2.45. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ М = {2, 3, 4, 5, 6} Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ кратности элСмСнтов (Ρ€), Ρ‚. Π΅. Ρ…Ρ€Ρƒ, Ссли Ρ…ΠœΡƒ (.Π³ дСлится Π½Π° Ρƒ Π±Π΅Π· остатка). ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

ΠžΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Рис. 231. ΠžΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

кратности.

РСшСниС. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π½ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„Ρƒ (рис. 2.31) наглядно ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π°Ρ… Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ: Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹Π΅ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ элСмСнтС ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Π΅ стрСлочки — ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ рСфлСксивности ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ; СдинствСнная стрСлка (Π° Π½Π΅ с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон) Ρƒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ элСмСнт Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ, Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся симмСтричным; отсутствиС хотя Π±Ρ‹ Ρƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ элСмСнтов ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΈΡ… ΡΡ‚Ρ€Π΅Π»ΠΎΠΊ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Π°Π½Ρ‚исиммСтрично ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ частный случай ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ понятия «ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствиС» — ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств.

Рассмотрим Π΄Π²Π° мноТСства X ΠΈ Π£. Если ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту Ρ… Π΅Π₯ поставлСн Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствиС СдинствСнный элСмСнт Ρƒ Π΅ Π£, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ соотвСтствиС называСтся ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ мноТСства X Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π£. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту Ρ… соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ элСмСнт#. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств Ρ‚Π°ΠΊ:/: X —" Π£, Π³Π΄Π΅/ — символ самого отобраТСния.

НапримСр, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ X — мноТСство студСнтов Π² Π°ΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π£ — мноТСство столов Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Π°ΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ. БоотвСтствиС «ΡΡ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚ Ρ… сидит Π·Π° ΡΡ‚ΠΎΠ»ΠΎΠΌ Ρƒ» Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСства X

Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π£. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ всС студСнты сидят Π·Π° ΡΡ‚ΠΎΠ»ΠΎΠΌ, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ Π΄Π²ΠΎΠ΅, ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΎΠ΅ ΠΈ Ρ‚. Π΄., Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚Ρ‹Π΅ столы. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ мноТСства X Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Y элСмСнт Ρƒ Π΅ YназываСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ элСмСнта ieX, a ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ… g X называСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ элСмСнта Ρƒ Π΅ Π£.

Если ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ / ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту Ρ… gX поставлСн Π² ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствиС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ элСмСнт Ρƒ g Π£, ΠΏΡ€ΠΈ этом соотвСтствии ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту Ρƒ g Π£ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствуСт СдинствСнный элСмСнт Ρ… Π΅Π₯, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2.46. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ X — мноТСство студСнтов, Π£ — мноТСство Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠ΅ΠΊ. БоотвСтствиС «ΡΡ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚Ρƒ Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ зачСтная ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠΊΠ° Ρƒ» Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСствами X ΠΈ Π£. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ всС студСнты ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π·Π°Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ зачСтная ΠΊΠ½ΠΈΠΆΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ своСму студСнту.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2.47. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ всС элСмСнты Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° произвСдСния мноТСств Π› = {-2, 1,3} ΠΈ Π’ = {-1,0, 2, 5}.

РСшСниС:

Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств. БоотвСтствия. Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΈΡ… свойства. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ элСмСнты Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° произвСдСния Π’ β€’ Π›, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ симмСтричны ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ ΠΈΠ· Π› β€’ Π’ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ биссСктрисы ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2.48. Π’Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ свойствами ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³| — «ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ большС» Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ N.

РСшСниС. Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Ρ…Π³Ρƒ, Ссли Ρ… > Ρƒ

  • Π°) Ρ… > Ρ… — Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для всСх Ρ… Π΅ N, Ρ‚. Π΅. Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся рСфлСксивным;
  • Π±) для всякой ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈΠ· Ρ… > Ρƒ Π½Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρƒ > Ρ…, Ρ‚.Π΅. Π‘Πž Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся симмСтричным;
  • Π²) для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ρ…, Ρƒ Π΅ N Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ‚ся ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π΅Ρ€Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²: Ρ… > Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ Ρƒ > Ρ…, Ρ‚. Π΅. ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ антисиммСтрично;
  • Π³) Ссли Ρ… > Ρƒ, Π° Ρƒ > 2, Ρ‚ΠΎ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ Ρ… > 2, Ρ‚. Π΅. Π‘ О Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ.
ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ