Мировая линия частицы. 
Световой конус

Существование любого тела представляет собой непрерывную последовательность происходящих с этим телом событий. Если какое-либо тело можно рассматривать как материальную точку, то и события, с ним происходящие, также будут точечными. Все эти события образуют линию в 4-мерном пространственно-временном многообразии, которая называется мировой линией рассматриваемой частицы (рис. 10.4). Параметрическое уравнение мировой линии материальной точки можно записать в виде г = г (/), где f = xi + yj + zk — радиус-вектор точки, t — время.

Рис. 10.4. Мировая линия частицы.

Ось времени, уравнение которой г = 0, есть мировая линия наблюдателя. При этом из формул (10.2) и (10.3) следует, что Т = тч и время t совпадает с собственным временем наблюдателя г.

Между событиями на мировой линии частицы, т. е. между событиями, с этой частицей происходящими, может быть установлена причинноследственная связь. Из двух событий на мировой линии частицы всегда одно происходит раньше другого; одно может быть названо причиной, а другое — следствием. Так, на рис. 10.4 событие А происходит раньше события В и может быть названо его причиной. Соответственно, событие В есть следствие события А. Все события, которые могут быть следствиями некоторого события А, образуют область в 4-мерном пространстве-времени, называемую будущим события А. Все события, которые могут быть причиной какого-либо события, образуют область, называемую прошлым этого события.

Исключим из формул (10.2) — (10.3) момент собственного времени 72. Получим

Это соотношение связывает между собой время t прихода светового сигнала в некоторую точку пространства и расстояния г от этой точки до наблюдателя при условии, что сигнал был отправлен в момент времени Г. Проще говоря, г есть расстояние, которое преодолевает световой сигнал (фотон) за время от т до t. Если подставить выражение (10.24) в формулы (10.4), то получим параметрические уравнения линии в пространственно-временном многообразии, которая представляет собой мировую линию фотона, испущенного из начала координат в момент времени t = Т.

Рис. 10.5. Волновой фронт сферической световой волны.

Точки в трехмерном пространстве переменных х, у, г, расстояния от которых до начала координат одинаковы и равны г, образуют сферу радиуса г с центром в начале координат (рис. 10.5). Если радиус сферы увеличивается со временем в соответствии с формулой (10.24), то эту сферу можно рассматривать как волновой фронт сферической световой волны, испущенной в момент времени Т точечным источником света, который находится в начале координат.

Используя соотношение (10.5), уравнение (10.24) сферического волнового фронта можно записать так:

В 4-мерном пространстве-времени, т. е. в пространстве переменных х> у,: и <, уравнение (10.25) представляет поверхность, которая называется световьим конусом (рис. 10.6). Сечение этого конуса плоскостью t = = const > ri есть сфера радиуса г в трехмерном пространстве (рис. 10.5).

До настоящего времени не обнаружены частицы, которые могли бы двигаться в пустом пространстве со скоростями, превышающими скорость света. Поэтому можно предположить, что таких частиц в природе не существует. Пусть в момент времени Т в начале координат О произошло некоторое событие А. Ив этот момент времени из точки О стало двигаться тело т. Так как это тело в момент времени Т находилось в начале координат, можно считать, что оно участвовало в событии А или это событие с ним и произошло. Любое событие В, произошедшее с телом m в более поздний момент времени t > Т, будет следствием события А и будет лежать в области будущего. В силу предположения о том, что скорость света является предельной скоростью распространения частиц и волн в пространстве, скорость движения тела m также не должна превышать скорости света в вакууме. Поэтому фронт сферической световой волны, испущенной из начала координат в момент времени т*1 будет двигаться в пустом пространстве быстрее тела тп. В результате это тело в любой момент времени t > Т будет находиться внутри сферы радиуса (10.24), а его мировая линия будет проходить внутри светового конуса (10.25) через его вершину А (рис. 10.6). Таким образом, приходим к заключению, что область внутри светового конуса является областью будущего относительно события А, лежащего в вершине этого конуса. Только на события внутри этой области событие А может оказывать какое-либо влияние.

Рис. 10.6. Световой конус будущего Исключим из формул (10.2) и (10.3) момент времени Т. Получим:

Подстановка этого выражения в формулы (10.4) дает параметрическое уравнение мировой линии фотона, попадающего в приемник наблюдателя в момент времени т2. Мировые линии различных фотонов, попадающих в приемник в этот момент времени, отличаются одна от другой значениями углов 0 и у?, которые определяют направление движения фотона. Все эти линии образуют световой конус прошлого (рис. 10.7). Вершиной этого конуса является событие А на мировой линии наблюдателя, соответствующее моменту собственного времени т₂. Уравнение конуса прошлого имеет вид.

Рис. 10.7. Световой конус прошлого.

Какое-либо тело т, двигаясь со скоростью, меньшей скорости света, может оказаться в начале координат одновременно с рассматриваемыми фотонами только в том случае, если в любой момент времени t < т₂ оно находится внутри сферы радиуса г = с (т2 — /). При этом мировая линия тела будет лежать внутри конуса прошлого и проходить через точку А (рис. 10.7). Событие А можно рассматривать как следствие любого из событий В, произошедших с телом m при t < г₂. Поэтому область, которая состоит из событий, лежащих внутри конуса прошлого, называется областью прошедшего для события А.

Положим в уравнениях (10.25) и (10.27) Т = т₂ = т₀ и возведем полученное уравнение в квадрат. Таким путем придем к уравнению.

полного светового конуса с вершиной А, лежащей на оси времени t (рис. 10.8). Этот световой конус разделяет пространство-время на три области: области будущего и прошедшего для события А и область абсолютно удаленных от, А событий. Такое название последней области обусловлено тем, что любое из событий в этой области не может быть ни причиной, ни следствием события А.

Разделение пространственно-временного многообразия на области будущего, прошедшего и область абсолютно удаленных событий для любого точечного события А имеет абсолютный физический смысл. Иначе говоря, кто бы ни наблюдал это событие, оно всегда будет следствием событий, лежащих в области прошедшего, причиной событий в области будущего и никак не будет связано с абсолютно удаленными событиями.

Рис. 10.S. Световой конус.