Логарифмический тренд. 
Методы социально-экономического прогнозирования. Т.2.

(5.42).

Логарифмический тренд по свойствам похож на гиперболический: при положительном значении а, он описывает процесс замедляющегося роста, при отрицательном — процесс снижения с замедлением. Однако в отличие от гиперболического логарифмический тренд не имеет асимптоты и либо возрастает, либо снижается без ограничений. Данные процессы графически представлены на рис. 5.19.

Рис. 5.19. Виды логарифмических трендов.

Данный тип функций так же популярен среди эконометристов, так как коэффициент а1 имеет следующую удобную интерпретацию: при увеличении t на 1% у растет на величину единиц.

Степенной тренд

(5.43).

Степенной тренд позволяет моделировать несколько типов процессов в зависимости от значения коэффициентов. В случае с положительными значениями а1 можно выделить три ситуации (рис. 5.20):

1. 0<а2<1 — рост с замедлением. Такой тип процессов чаще встречается в практическом прогнозировании. Рост в таком случае не имеет предела, но с каждым следующим наблюдением изменения показателя становятся все меньше и меньше.

• 2. а2 > 1 — рост с ускорением. По сути, в таком случае исследователь сталкивается с правой восходящей веткой параболы, которая (как было показано ранее) используется на практике редко.
• 3. а2 < 0 — снижение с замедлением. В таком случае исследователь фактически получает гиперболу с асимптотой в а0.

Рис. 5.20. Виды степенных трендов при положительном значении a1.

В первых двух ситуациях коэффициент а0 выступает показателем первоначального значения уровня ряда. В третьей ситуации а0 становится асимптотой.

В случае с отрицательным значением а1 тренды зеркально отражаются относительно оси абсцисс. В таком случае возникает еще три ситуации (рис. 5.21):

• 1. 0<a2<1 — снижение с замедлением.
• 2. а2 > 1 — снижение с ускорением (исследователь сталкивается с правой нисходящей веткой параболы).
• 3. а2 <0 — рост с замедлением (исследователь фактически получает гиперболу с асимптотой в а0).

Коэффициент а2 так же поддается простой экономической интерпретации, поскольку представляет собой коэффициент эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится у с изменением t на 1%.

Рис. 5.21. Виды степенных трендов при отрицательном значении a1.

Пример прогнозирования с использованием моделей трендов

Коэффициенты всех рассмотренных нами ранее трендов могут быть легко найдены либо методом средних, либо методом наименьших квадратов. При этом в случае с обратимыми процессами исследуемый ряд данных лучше предварительно сгладить, используя простые скользящие средние, после чего можно определить вид тенденции и, подобрав соответствующую модель тренда, приступить к нахождению коэффициентов выбранного тренда.

Возьмем для примера ряд № 344 из базы М3, уберем последние шесть значений и попытаемся спрогнозировать их, используя оставшиеся 25 наблюдений (рис. 5.22). Несмотря на то что перед нами явно необратимый процесс, мы попытаемся применить для прогнозирования стандартную методику, используемую для прогнозирования обратимых процессов.

Стандартная методика построения трендов подразумевает предварительное сглаживание ряда, что мы и проделали. Для уменьшения влияния случайных отклонений мы выбрали простую скользящую среднюю девятого порядка, которая в итоге дала гладкую нелинейную тенденцию, как можно предположить, соответствующую типу динамики исходного ряда данных. Для описания этой тенденции можно выбрать логарифмический тренд (5.42), так как в исходном ряде данных тенденции вначале изменялись с большей скоростью, нежели в конце ряда данных. Снижение в конце ряда в соответствии со стандартной методикой построения трендов можно считать случайным.

Рис. 5.22. Ряд данных № 344 (сплошная линия с точками) и он же, сглаженный SMA (9) (сплошная линия).

Однако находить коэффициенты этого тренда нужно относительно сглаженного, а нс исходного ряда для того, чтобы он нс побрал в себя отсеянные нами случайные отклонения. Математически задачу нахождения коэффициентов этого тренда в таком случае можно записать следующим образом:

(5.44).

где обозначает округление х до целого числа по правилам математического округления.

Задачу (5.44) можно решить путем нахождения коэффициентов логарифмического тренда методом наименьших квадратов. В MS Excel для выполнения этой задачи можно либо воспользоваться надстройкой «Анализ данных» > «Регрессия» («Data analysis» > «Regression»), либо функциями «наклон» и «отрезок» («slope» и «intercept»). Для нашего случая получим следующую модель:

(5.45).

Сама модель и точечный прогноз по ней показаны на рис. 5.23.

Рис. 5.23. Ряд данных № 344 (сплошная линия с точками), сглаженный ряд (пунктирная линия), модель тренда и прогноз по ней на шесть наблюдений вперед (сплошная линия)^[1]

Как видим, использование подхода, в котором все наблюдения считаются одинаково важными для случая с необратимым процессом, привело к тому, что прогноз по модели оказался неточным (последние шесть точек на графике): не только с систематическим завышением на участке прогнозирования, но и с ростом расчетных значений, что нс соответствует реальности.

Чтобы получить более точные прогнозы, нужно было убрать из рассмотрения ту часть ряда, в которой наблюдалась тенденция к росту, и оставить только ту, в которой произошел перелом и началось снижение значения показателя. Конечно, это грубое решение, но, используя в прогнозировании только модели трендов, иначе поступить нельзя. Проблема здесь заключается еще и в том, что спад с 1982 г. мог быть случайным, а значит, и тенденция к росту в будущем может восстановиться. Чтобы определить, с чем именно мы имеем дело (со сменой тенденции или со случайным отклонением), нужно обратиться к самой исследуемой области и провести фундаментальный анализ, выявить предпосылки к тому или иному развитию действий.

Пока же мы решили оставить только часть данных с изменившейся тенденцией. На рис. 5.24 показана та часть ряда, в которой начался перелом (с 1982 г. по конец исходного ряда в 1987 г.). Номера наблюдений в таком случае начинаются с первого в 1982;м г.

Рис. 5.24. Ряд данных № 344 (сплошная линия с точками) и SMA (3) (сплошная линия) по части ряда с нисходящей тенденцией.

К сожалению, в таком случае в распоряжении прогнозиста остается совсем немного значений, поэтому исходный ряд данных не получается сгладить простыми скользящими средними высокого порядка. Поэтому мы использовали скользящую среднюю третьего порядка. По полученному сглаженному ряду можно подобрать множество различных трендовых моделей, каждая из которых будет характеризовать тенденцию к снижению, но с разной скоростью. Однако практика прогнозирования показывает, что тенденции со стабильной скоростью встречаются достаточно редко^[2], в связи с чем на участке прогноза лучше использовать модели с замедлением. В нашем случае к таким можно отнести логарифмическую, степенную и гиперболическую модели. Возьмем для единообразия логарифмическую модель и так же, как мы это проделали раньше, найдем ее коэффициенты для сглаженного ряда. Получим следующую модель:

(5.46).

Полученная модель тренда и прогноз по ней показаны на рис. 5.25.

Рис. 5.25. Усеченный ряд данных № 344 (сплошная линия с точками) и прогноз по нему на шесть наблюдений вперед (сплошная линия)^[3]

Как видим, использование другого подхода позволило нам дать более точный прогноз на шесть наблюдений вперед по выбранному ряду данных. Но, к сожалению, стандартные статистические характеристики в таком случае неприменимы не только из-за малого числа наблюдений, но и из-за неоднородности самого рассматриваемого нами процесса — мы явно имеем дело с необратимым процессом, выборочный метод в котором практически не работает.

Итак, в случае с необратимыми процессами использовать стандартный эконометрический подход в нахождении коэффициентов моделей трендов нельзя. Нужно использовать другой подход — либо подразумевающий явное исключение наблюдений, заведомо искажающих прогноз, либо неравномерный учет наблюдений при расчете коэффициентов моделей (такой, чтобы более старые наблюдения в меньшей степени учитывались в расчетах). Более подробно мы рассмотрим эти подходы в следующих параграфах.

В заключение стоит отметить, что при прогнозировании тех или иных тенденций в ряде данных обычно рекомендуется построить несколько моделей, после чего выбрать ту из них, которая, как считает исследователь, даст более точный прогноз по ряду данных. Выбор этот обычно осуществляется на основе предварительного фундаментального анализа объекта исследования, позволяющего выявить факторы, влияющие на исследуемый показатель, и сделать выводы о том, какая из прогнозных тенденций может наиболее точно описать исследуемый показатель.

Преимущества и недостатки моделей трендов

К явным преимуществам моделей трендов можно отнести то, что в случае с корректным выявлением тенденций в ряде данных и сохранении их на прогнозируемом промежутке можно получить точные прогнозы. Кроме того, коэффициенты моделей трендов легко находятся методом наименьших квадратов, поэтому построить тренд не доставляет особых сложностей у любого специалиста, знакомого с эконометрикой.

В качестве недостатка можно отметить то, что стандартный подход к построению трендов применим лишь в отдельных случаях — случаях обратимых процессов. А из-за того, что экономика изобилует исключительно необратимыми процессами, применение такого подхода приводит к очень неточным прогнозам. Конечно, модели трендов требуют предварительного изучения и сглаживания ряда данных — без этого невозможно определить тенденцию, с которой имеет дело исследователь.

Кроме того, поскольку модели трендов фактически представляют собой регрессионные модели от времени, с ростом числа наблюдений (т.е. с увеличением t) растет и корреляция между уt и t. Это приводит к тому, что даже очень плохая модель тренда, не способная дать точный прогноз, по формальным статистическим соображениям оказывается значимой.

Кроме того, при поступлении новой информации (появлении новых наблюдений) модели трендов приходится строить заново — они не учитывают эту новую информацию.

Все эти недостатки привели к тому, что в наше время при анализе временны? х рядов и прогнозировании экономисты обращаются, скорее, к моделям авторегрессий, которые формально лишены этих недостатков, нежели к моделям трендов. Тем не менее знание особенностей моделей трендов и умение их использовать на практике дает исследователю много важной информации при прогнозировании социальноэкономической динамики.

• [1] Пунктирной линией с пустыми ромбиками показаны фактические значения, исключенные нами из рассмотрения.
• [2] Gardner E. S., McKenzie Ed. Forecasting Trends in Times Series // Management Science. 1985. Vol. 31. №. 10. P. 1237−1246.
• [3] Пунктирной линией с пустыми ромбиками показаны фактические значения, исключенные нами ранее из рассмотрения.