Виды доказательств. 
Методика обучения математике

Пример из истории Немецкий философ XIX в. А. Шопенгауэр считал математику интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным, никто не может назвать его ложным. Каждый шаг его убедителен, однако к концу доказательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Это все равно, что вас провели через лабиринт. Вы наконец выходите из него и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился».

Но нс менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте. Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает. А. Пуанкаре считал, что это равносильно такому наблюдению за игрой в шахматах, когда замечаешь только то, что каждый ход подчинен правилам игры.

Минимальное требование — это понимание логического выведения как целенаправленной процедуры. Только в этом случае достигается интуитивная ясность того, что мы делаем.

То, что создает, по выражению Пуанкаре, «единство доказательства», можно представить в форме общей схемы, охватывающей основные его шаги, воплощающей в себе общий принцип или его итоговую структуру. Именно такая схема остается в памяти, когда забываются подробности доказательства.

С точки зрения общего движения мысли все доказательства подразделяются на прямые и косвенные.

При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам получается тезис.

Например, нужно доказать, что сумма углов четырехугольника равна 360°. Из каких утверждений можно было бы вывести этот тезис? Отмечаем, что диагональ делит четырехугольник на два треугольника. Значит, сумма его углов равна сумме углов двух треугольников. Известно, что сумма углов треугольника составляет 180°. Из этих положений выводим, что сумма углов четырехугольника равна 360°.

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса.

Как с иронией замечает американский математик Дж. Пойа, «косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию другой партии».

Косвенные доказательства делятся на несколько видов.

Косвенное доказательство, построенное на отрицании доказываемого положения, называют доказательством от противного.

Допустим, нужно построить косвенное доказательство весьма тривиального тезиса: «Квадрат не является окружностью». Выдвигается антитезис: «Квадрат есть окружность». Нетрудно показать ложность этого утверждения. С этой целью выводят из него следствия. Если хотя бы одно из них окажется ложным, это будет означать, что и само утверждение, из которого выведено следствие, также ложно. Неверным является, в частности, такое следствие: у квадрата нет углов. Поскольку антитезис ложен, значит, тезис должен быть истинным.

В споре, при умелом применении, такие доказательства могут обладать особенной убедительностью.

В зависимости от того, как стремятся показать несостоятельность отрицания тезиса, можно выделить несколько разновидностей такого косвенного доказательства.

Следствия, противоречащие фактам. Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами. Так обстоит дело в следующем примере.

Врач, убеждая пациента, что тот не болеет гриппом, рассуждает так. Если бы это действительно был грипп, то были бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и т. п. Но ничего подобного нет. Значит, нет и гриппа.

Пример из истории Друг изобретателя паровой машины Д. Уатта шотландский ученый Блэк ввел понятие о скрытой теплоте плавления и испарения, важное для понимания работы тепловой машины. Блэк, наблюдая обычное явление — таяние снега в конце зимы, рассуждал так: если бы снег, скопившийся за зиму, таял сразу, как только температура воздуха стала выше нуля, то неизбежны были бы опустошительные наводнения, а раз этого не происходит, значит, на таяние снега должно быть затрачено определенное количество теплоты. Ее Блэк назвал скрытой.

Это — косвенное доказательство. Следствие антитезиса, а значит, и он сам опровергается ссылкой на очевидное обстоятельство: в конце зимы наводнений обычно нет, снег тает постепенно.

Внутренне противоречивые следствия. По логическому закону непротиворечия одно из двух противоречащих друг другу утверждений является ложным. Поэтому, если в числе следствий какоголибо положения встретились и утверждение, и отрицание (одного и того же), можно сразу же заключить, что это положение — ложь.

Пример Примером такого рассуждения служит известное доказательство Евклида, что ряд простых чисел бесконечен. Простые — это натуральные числа больше единицы, делящиеся только на себя и на единицу. Простые числа — это как бы «первичные элементы», на которые все целые числа (большие 1) могут быть разложены. Естественно предположить, что ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13,… — бесконечен. Для доказательства данного тезиса допустим, что это не так, и посмотрим, к чему ведет такое допущение. Если ряд простых чисел конечен, существует последнее простое число ряда — А. Образуем далее другое число: В = (2 • 3 • 5 •… • А) + 1. (Число В больше А, поэтому В не может быть простым числом. Значит, В должно делиться на простое число. Но если В разделить на любое из чисел 2, 3, 5,… Л, то в остатке получится 1. Следовательно, В не делится ни на одно из указанных простых чисел и является, таким образом, простым. В итоге, исходя из предположения, что существует последнее простое число, мы пришли к противоречию: существует число одновременно и простое, и не являющееся простым. Это означает, что сделанное предположение ложно и правильно противоположное утверждение: ряд простых чисел бесконечен.

В этом косвенном доказательстве из антитезиса выводится логическое противоречие, что прямо говорит о ложности антитезиса и, соответственно, об истинности тезиса. Такого рода доказательства широко используются в математике.

Если имеется в виду только та часть подобных доказательств, в которой показывается ошибочность какого-либо предположения, они именуются, но традиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем, что из него выводится откровенная нелепость.

Логически вытекает из своего собственного отрицания.

Этот прием опирается на закон Клавия, говорящий, что если из предположения ложности утверждения вытекает его истинность, то утверждение истинно.

По такой схеме рассуждал еще Евклид в своих «Началах».

Пример из истории Такую же схему использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с другим древнегреческим философом, софистом Протагором. Протагор утверждал, что истинно все то, что приходит в голову. На это Демокрит ответил, что из положения: «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отрицания «Не все высказывания истинны». И значит, это отрицание, а не положение Протагора на самом деле истинно.

Еще одним видом косвенного доказательства является разделительное доказательство. Во всех рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис.

Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к так называемому последовательному косвенному доказательству, или доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области.

Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом. В стандартных косвенных доказательствах альтернативы тезис и антитезис исключают друг друга в силу законов логики. В разделительном доказательстве взаимная несовместимость возможностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяются не логическими, а фактическими обстоятельствами. Отсюда обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все возможности.

Нет сомнения, что косвенное доказательство представляет собой эффективное средство обоснования. Но, имея с ним дело, мы вынуждены все время сосредоточиваться не на верном положении, справедливость которого необходимо обосновать, а на ошибочных утверждениях. Сам ход доказательства состоит в том, что из антитезиса, являющегося ложным, мы выводим следствия до тех пор, пока не придем к утверждению, ошибочность которого несомненна.

Косвенное доказательство — хорошее орудие исследования, по не всегда удачный прием изложения материала. Не случайно в практике преподавания нередок такой парадоксальный случай, когда после того, как косвенное доказательство проведено, ход его тут же забыт, оставив в памяти только доказанное положение. Имеются также более серьезные возражения против косвенного доказательства. Они связаны с использованием в нем закона исключенного третьего, который не всеми признается универсальным, приложимым в любых без исключения случаях.

Найденное косвенное доказательство какого-то утверждения обычно удается перестроить в прямое доказательство этого же утверждения. Обычно, но не всегда.

О доказательстве в логике говорится много, об опровержении, пример которого дан в п. 3 (введение в тему) только вскользь. Причина понятна: опровержение представляет собой как бы зеркальное отображение доказательства.

Опровержение — эго рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или недоказанности. Наиболее распространенный прием опровержения — выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что, если даже одно-единственное логическое следствие из некоторого положения неверно, ошибочным будет и само это положение.

Другой прием установления несостоятельности выдвинутого кем-либо положения — доказательство несправедливости от этого положения. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что истинно отрицание рассматриваемого положения, вопрос об истине самого этого положения автоматически отпадает. Достаточно, скажем, показать одного черного лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в том, что лебеди бывают только белыми.

Если положение выдвигается с каким-либо обоснованием, операция опровержения может быть направлена против обоснования. В этом случае надо показать, что приводимые аргументы ошибочны: вывести из них следствия, которые окажутся в итоге несостоятельными, или доказать утверждения, противоречащие аргументам.

В доказательстве необходимо соблюдать следующие правила доказательного рассуждения: 1) правила, относящиеся к тезису (тезис должен быть логически определенным, ясным и точным; тезис должен оставаться тождественным на протяжении всего доказательства или опровержения); 2) правила, относящиеся к аргументам (аргументы должны быть истинными и не противоречащими друг другу; они должны являться достаточным основанием для подтверждения тезиса, и истинность аргументов должна быть доказана самостоятельно, независимо от тезиса); 3) правила, относящиеся к демонстрации (необходимо, чтобы тезис был заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений, или был бы получен в соответствии с правилами косвенного доказательства). Если эти правила нарушаются, то в доказательстве и опровержении возикают логические ошибки. Доказательство должно основываться на данных науки и социально-исторической практики, поэтому оно не тождественно убеждению, которое может опираться на религиозную веру, предрассудки, равно как и на неосведомленность. В доказательстве является обязательным процесс аргументации.