Необходимое условие Лежандра слабого минимума функционала

Предположим, что мы нашли решение уравнения Эйлера—Лагранжа — некоторую функцию у (х). В общем случае нет гарантии, что найденная у (х)будег минимизирующей кривой. Действительно, как мы помним, уже при поиске минимума функции одного переменного условие dy/dx = 0 не гарантирует, что мы находимся в точке минимума функции, так как это, например, может быть точкой ее перегиба.

Наш же случай более сложен, и нам необходимо убедиться, что решение уравнения Эйлера—Лагранжа действительно дает минимум функционала. Для этого нужно рассмотреть окрестность найденной кривой, т. е. исследовать близкие к ней кривые, иначе говоря, рассмотреть допустимые вариации.

Сначала рассмотрим слабые вариации, о которых упоминали в связи с определением слабого минимума функционала (см. 0.1.3). Здесь 6у и бу’малы, или, в терминах близости по Чебышеву, все допустимые кривые и их первые производные близки к экстремали у*(х) и ее производной, т. е. шах (|у (х)-у"(х)|, |у'(х)-у'"(х)|)малы.

а<�х<�Ь

Это близость первого порядка. Отметим, что исходя из этого можно определить и близость к-го порядка:

Ясно, что такая близость отвечает высокой гладкости как семейства функций у (х) и их производных, так и функции у,(х) и ее производных.

Рассматривая полное приращение функционала ДJ (1.8) для слабых вариаций, мы можем ограничиться его первой 6/ и второй б²J вариациями включительно, так как входящие в старшие вариации бУ 6У, б⁴у, б⁴у’и последующие малы, т. е.

Но, так как, согласно теореме 1.2.

нам достаточно рассмотреть только вторую вариацию. Вновь обращаясь к формулам (1.8) и избавляясь от вариации by' во втором слагаемом в б²/, запишем вторую вариацию в виде.

Предполагая требуемую гладкость (т. е. непрерывность у, у’и f ,),

учитывая краевые условия для допустимых вариаций (1.4), запишем выражение (1.14) для б²У в виде.

интегрируем по частям второй член:

Исследуем эту квадратичную функцию при бу->0 и ду'~* 0, выделяя главную часть при предельном переходе с учетом того, что вариации слабые. Для этого рассмотрим допустимые вариации специального вида (рис. 1.4), где 6у = 0 всюду на [я, />, кроме сегмента [Р, /?], причем на х е [Л 01 бу' > 0 и постоянно, а на х е [0, /?] 6у'< 0 и убывает (по модулю). Примем.

где е — некоторый малый масштабный множитель.

В согласии с (1.15) б²J принимает вид:

Помня, что на [Р, 0] бу’постоянна и мала, а на [0, Я] бу'~е, и замечая, что при указанном характере «сжатия» промежутка Р— 0 бу ~ е², оценим каждый из четырех интегралов, используя теорему о среднем:

Рис. 1.4. Специальные вариации при выводе условий Лежандра.

J f_y у (5у fdx «/_уУ |_ср (6у')² |_ср с ~ е².

На [Q, /?] бУ~е⁴, d~e, откуда К'"yydx.

= fw —rfv'v ⁶y. ^d Ч fyy —rfy-y e e~e •.

dx'

dx'

И, наконец,.

J /_у у (Sy ')² dx~ f‘_y._y. |_cp (8y').

, 2

У = e²e~e³.

cp.

Таким образом, при с -* 0 главная часть выражения для 6²У определяется вторым интегралом и принимает вид:

Q

8²J = jf_yy(8yfdx.

р

С учетом произвольности точки Q, в окрестности которой рассматривается вариация, получаем.

f_y у>0. (1.16).

Это неравенство Лежандра (1752—1833) слабого минимума функционала. Таким образом, нами доказана следующая теорема. Теорема 1.3 (Лежандра). Для того чтобы квадратичный функционал.

dfyy'.

dx

был неотрицателен, необходимо, чтобы всюду на [а, Ь] выполнялось неравенство:

/v'v^O.

Таким образом, мы получили второе необходимое условие минимума функционала.

Замечание 1.3. Для функционала, зависящего от п функций,.

неравенство Лежандра является следствием неотрицательности квадратичной формы:

которая, как и ранее, на основе рассмотрения слабых вариаций сводится к квадратичной форме:

с такой системой неравенств, необходимых для ее неотрицательности:

на всем промежутке а, Ь, на котором заданы экстремали.