Метод А-средних. 
Политический анализ и прогнозирование в 2 ч. Часть 2

При всех сильных сторонах иерархического кластеранализа, он обладает одним существенным недостатком. С ним трудно работать при наличии большого числа объектов, так как дендрограммы становятся «перегруженными» и теряют наглядность. В таких случаях используют другой метод кластеризации — метод A-средних. Впрочем, этот метод весьма эффективен и при незначительном количестве объектов: его можно и нужно сочетать с древовидной кластеризацией для получения более надежных результатов.

Принципиальное отличие метода A-средних от иерархического кластер-анализа заключается в том, что исследователю необходимо изначально определить число кластеров, на которое требуется разбить изучаемую совокупность. Соответственно, желательно еще до начала анализа иметь гипотезу о структуре исследуемой совокупности. В ином случае рекомендуется «разведочный» алгоритм: сначала совокупность делится на два кластера, затем на три — и так до тех пор, пока не будет найдено оптимальное число кластеров.

Таблица 11.7

Вычислительный алгоритм кластеризации в методе /(-средних можно проиллюстрировать простым примером на плоскости. Предположим, мы имеем пять объектов: А, В, С, D, Е, для которых заданы координаты (см. табл. 11.7).

Диаграмма рассеивания изображена на рис. 11.6.

Рис. 11.6.

Уже на диаграмме рассеивания мы видим, что объекты должны быть сгруппированы в два четких кластера. Однако к этому еще необходимо прийти расчетным путем.

I. Центры кластеров (их число определено исследователем, в нашем случае 2) задаются случайным образом. Кстати, в математическом аппарате метода число кластеров обозначается к, отсюда — название алгоритма.

Предположим, случайные координаты центра первого кластера — (3; 3), второго — (8; 8).

Рис. 11.7.

2. Рассчитываются расстояния от центров кластеров до всех объектов (используется евклидово расстояние).

Матрицу евклидовых расстояний для нашего случая см. в табл. 11.8.

Таблица 11.8

3. Объекты «приписываются» к тем кластерным центрам, к которым они ближе находятся.

Соответственно, объекты А, В, С приписываются к первому кластеру, объекты D и Е — ко второму.

Далее производится смещение центров кластеров таким образом, чтобы минимизировать расстояние между объектами внутри кластеров и максимизировать расстояние между кластерами. Это делается следующим образом.

• 4. Вычисляются средние значения переменных для объектов каждого кластера (см. табл. 11.9).
• 5. Вычисленные средние становятся координатами нового центра каждого кластера.

6. Повторяются шаги 2−5 до того момента, когда кластерные центры перестают «мигрировать» и занимают устойчивое положение.

В нашем простейшем случае это происходит уже при первой итерации. Координаты центра первого кластера — (2; 1), второго — (9,5; 11,5). Расстояния от центров кластеров до всех объектов см. в табл. 11.10 и на рис. 11.8.

Рис. 11.8

Упражнение 11.2

1. Постройте «расчетный модуль» для метода АТ-средних. Образец показан на рис. 11.9.

Рис. 11.9.

2. Меняя значения случайных центров, посмотрите, как будет меняться расчет конечных кластерных центров.

Одна из проблем метода /^-средних состоит в том, что результат классификации может оказаться зависимым от начальных позиций кластерных центров, которые выбираются случайно. В том случае, если существует несколько устойчивых положений центров кластеров, анализ остановится только на одном из них, не обязательно оптимально отражающем структуру изучаемой совокупности. Один из таких примеров приводится на рис. 11.10.

Вернемся к нашему примеру со странами мира и попробуем поработать с этими данными с помощью метода А'-средних.

Разобьем объекты на два кластера. Поскольку мы уже имеем представление о структуре совокупности благодаря ранее проведенному иерархическому анализу, мы в состоянии сформулировать предположение о том, как произойдет разбиение. Скорее всего, оно будет соответствовать дендроРис. 11.10

граммам 11.5а и 11.55, так как метод /^-средних использует евклидову метрику. Т. е. мы получим разбиение «развитые страны — все остальные».

Так и происходит (см. табл. 11.11).

Таблица 11.11

Действительно, Великобритания, Норвегия и Япония попали в первый кластер, все остальные страны — во второй. Обратите внимание на третий столбец в табл. 11.11 — расстояние до кластерного центра. Оно показывает, насколько «плотным» является кластер, в какой мере объекты в нем близки к общему центру. Так, в первом кластере большие внутрикластерные дистанции, он достаточно «рыхлый». К центру кластера ближе всего Япония, на наибольшем удалении находится Великобритания. Второй кластер более плотный.

Впрочем, во многом это связано с тем, что евклидова метрика чувствительна к размерности данных. Например, различия между странами в «бедной» группе по ВВП на душу населения (в долларах США) не очень велики, так как значения показателей для каждой отдельной страны весьма скромные. По мере увеличения благосостояния увеличиваются и различия между странами.