Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Доказательство. Предположим, что из п всевозможных элементарных исходов событию А благоприятствуют т исходов, из которых к исходов благоприятствуют событию В. Тогда вероятность события А будет Р (А) — т/п, условная вероятность события В относительно события А равна Р (В / А) — к / т.

Произведению событий А и В благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию А, и событию В одновременно, то есть к исходов. Поэтому вероятность произведения событий А и В равна Р{АВ) = к / п. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на т, получим.

Аналогично можно показать, что Р (АВ) = Р (В)Р{А / В).

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство. Согласно условию, событие А не зависит от события В, тогда с учетом (2.10) получим Р (А / В) = Р (А). Подставим это уравнение в формулу (2.12):

Разделив левую и правую часть уравнения на Р (А) ф 0, получим.

Таким образом, следствие доказано.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство. Для независимых событий условные вероятности равны безусловным:

ПРИМЕР 6. Прибор, работающий в течение времени /, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора. За время t вероятность безотказной работы узлов соответственно равна: р = 0,8; рг — 0,9; р₃ = 0,7. Какова надежность прибора (вероятность безотказной работы) за время /?

РЕШЕНИЕ. Обозначим события:

А — безотказная работа прибора;

А_х — безотказная работа первого узла;

А₂ — безотказная работа второго узла;

А_у — безотказная работа третьего узла.

Безотказная работа прибора обеспечивается независимой и безотказной работой каждого из грех узлов: А = Д • А_г • А_у

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

ПРИМЕР 7. Экзаменующимся по теории вероятностей было предложено 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных (нс возвращая их). Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он подготовил лишь 30 билетов и в первый раз вытянул «неудачный» билет?

РЕШЕНИЕ. Испытание состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вынутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие А — «в первый раз вынут „неудачный“ билет», В— во второй раз вынут «удачный» билет". Очевидно, что события А и В зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события А П В. По формуле умножения вероятностей:

4 • 30.

Р (А) = 4 / 34;Р (5 / А) = 30 / 33, тогда Р (ЛПВ) =-«0,107.

^v ' 34−33.