Ряды аналитических функций, разложение аналитической функции в степенной ряд

§ 1. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть мы имеем бесконечный ряд.

все члены которого суть функции, аналитические в некоторой области G. Предположим, что ряд (1) сходится в каждой точке г области G, и обозначим его сумму через f (z). При каких условиях сумма сходящегося ряда аналитических функций будет сама функцией аналитической?

Таким условием является условие равномерной сходимости ряда (1) в области G или по крайней мере во всякой замкнутой области G целиком лежащей в области G. Это устанавливается теоремой Вейерштрасса, состоящей из двух частей.

Фиг. 83.

Итак, предположим, что ряд (1) сходится равномерно во всякой замкнутой области G', целиком лежащей в области G, и докажем, вопервых, что ряд (1) изображает функцию f (z), ана^гитическую в области G; во-вторых, что после дифференцирования произвольное число раз ряда (1) получается новый ряд, который будет также равномерно сходящимся во всякой замкнутой области G', внутренней к G, и будет изображать соответствующую производную функции f (z), или, короче: ряд (1) можно почленно диффсренцировать сколько угодно раз.

Замечание. Такой простой теоремы мы не имеем в действительной области, так как изг"естно, что равномерно сходящийся ряд функций действительного переменного, вообще говоря, нельзя почленно дифференцировать.

Для доказательства первой части теоремы заметим, что в силу равномерной сходимости ряда (1) его сумма f (z) есть непрерывная функция во всякой замкнутой области G', внутренней к области G, а значит, и всюду в области G (гл. II, § 2_Г и. 2). Нам достаточно показать, что во всякой точке z₀ области G функция f (z) имеет конечную производную. Окружим точку z₀ правильным контуром С так, чтобы все его внутренние точки вместе с точками самого контура принадлежали области G (фиг. 83). Данный ряд (1) по условию будет сходиться равномерно на контуре С. Обозначая через С произвольную точку контура С, а через z любую точку внутри С, разделим все члены ряда (1) на С — z. Полученный ряд.

будет равномерно сходящимся для всех точек С, принадлежащих С. Такой ряд возможно почленно интегрировать вдоль линии С (гл. IV, § 1, п. 3).

Производя интегрирование вдоль С и деля все члены полученного в результате ряда на 2п/, получим:

Так как функции f_n (z) но условию суть аналитические всюду внутри С, включая точки самого контура С, то, пользуясь формулой Коши, перепишем ряд (3) в виде:

В первой части ряда (3) стоит данный рад (1), сумма которого равна flz); следовательно, имеем:

Так как функция f (z) для всех точек z, внутренних к контуру С, изображается интегралом типа Коши (3″), то во всех этих точках z она имеет конечную производную (гл. IV, § 3, п. 3). В частности, функция f (z) должна иметь конечную производную в точке z = z₀. Вспомнив, что под z₀ мы понимаем любую точку области О, мы заключаем отсюда, что f (z) есть функция, аналитическая в области О, чем и доказывается первая часть теоремы Вейерштрасса.

К тому же заключению можно притти иначе, воспользовавшись теоремой Морера (гл. IV, § 3, п. 5). В самом деле, во-первых, мы видели, что f (z) есть функция, непрерывная в области О, во-вторых, вследствие равномерной сходимости ряда (1) на контуре С его можно проинтегрировать почленно вдоль линии С:

где под С достаточно понимать любой правильный замкнутый контур, принадлежащий некоторой окрестности точки z₀. Так как функции f_n (²) ^СУ^ТЬ аналитические всюду внутри С, включая точки самого контура С, то по основной теореме Коши имеем:

а, следовательно, из равенства (4) получаем:

Итак, сумма ряда (1) есть непрерывная функция в области G, для.

f

которой имеем: /(?)а?ч = 0; интеграл берётся вдоль произвольного с

замкнутого контура С, принадлежащего некоторой окрестности точки z₀. В силу теоремы Морера функция f (z) должна быть аналитической в указанной окрестности точки z₀. Вспомнив снова, что под z₀ мы понимаем любую точку области G, заключаем отсюда о справедливости нашего положения.

Перейдём теперь к доказательству второй части теоремы. Попрежнему окружим произвольную точку z₀ области G правильным контур<5м С, вес внутренние точки которого, включая и точки самого контура С, лежат в области G. Обозначая через С произвольную точку контура С, а через z любую точку внутри С, разделим данный ряд (1) на (С— z)²; получим ряд, равномерно сходящийся на контуре С:

Проинтегрировав ряд (5) почленно вдоль линии С и разделив все члены полученного ряда на 2тт/, найдём:

Применяя формулу Коши, перепишем ряд (6) так:

т. е. мы видим, что ряд,. составленный из производных членов данного ряда (1), сходится к производной от суммы данного ряда (1) во всякой точке z_y лежащей внутри С, в частности при z=z₀. Вспомнив, что z₀ есть любая точка области О, мы убеждаемся в возможности почленного дифференцирования ряда (1) в каждой точке области О. Остаётся показать, что ряд (6'), составленный из производных членов данного ряда (1), сходится равномерно во всякой замкнутой области G целиком лежащей в области G.

Действительно, пусть z₀ — любая точка области G'. Опишем около точки г₀, как центра, окружность Г столь малого радиуса 2d, чтобы она вместе со всеми внутренними точками принадлежала области G. Рассмотрим окрестность а_гп точки z₀: | z — Когда точка С описывает окружность Г, а точка z остаётся в окрестности о_гп, расстояние между ними |С — z остаётся всё время больше положительного числа d. Так как данный ряд (1)сходится равномерно на окружности Г, то при любом сколь угодно малом s^>0 имеем:

какова бы ни была точка С cz Г.

Заметив это, рассмотрим все члены ряда (6'), начиная с (/г —[— 1)-го:

Из равенства (7) получаем:

Последнее неравенство показывает, что остаточный член производного ряда (6'), начиная с достаточно большого номера, будет по модулю меньше любого сколь угодно малого положительного числа независимо от точки 2 принадлежащей окрестности а_гп. Другими словами, мы доказали, что ряд (6') равномерно сходится в окрестности произвольной точки z₀, z₀ с O'. В силу леммы Гейне-Бореля (гл. II, § 1, п. 4) область О может быть покрыта конечным числом окрестностей и, в каждой из которых, но доказанному, производный ряд равномерно сходится. Следовательно, ряд (6') равномерно сходится во всей области О'.

Заметив, что производная аналитической функции есть функция аналитическая (гл. IV, § 3, п. 4), мы видим что ряд (6') есть ряд функций, аналитических в области G, равномерно сходящийся во всякой замкнутой области О', целиком внутренней к G. Применяя к этому раду последовательно доказанное положение, мы получаем:

и вообще.

причём все получаемые ряды суть равномерно сходящиеся во всякой замкнутой области G', целиком внутренней к области G.

Замечание. Если данный ряд (1) сходится равномерно в области G, го в силу доказанного производный ряд (6') будет равномерно сходящимся во всякой замкнутой области G', целиком внутренней к G. Ошибочно было бы заключить, что производный ря"1 (6') сходится равномерно в области G. В самом деле, ряд • • •+"р «Ь-• • сходится равномерно в круге |z|^L.

Его производный ряд:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

равномерно сходящийся по доказанному, при z^r, /•< 1, не будет равномерно сходиться в круге |z|< 1.

Вслецсгвие доказанной теоремы Вейерштрасса равномерно сходящиеся ряды аналитических функций имеют особо важное значение, гак как их суммы являются функциями аналитическими. Отсюда весьма цажное значение приобретает проблема об изыскании критериев, более или менее широких, достаточных для равномерной сходимости ряда аналитических функций. Цикл вопросов, сюда относящихся, имеет следующую постановку: предполагая ряд (1) сходящимся на бесконечном множестве точек Е в области G, имеющем по крайней мере одну предельную точку внутри G, найти условия, которые нужно наложить на последовательность функций для того, чтобы ряд (1) был равномерно сходящимся во всякой замкнутой области, целиком внутренней к G. Такими условиями будут, например: 1) равномерная ограниченность последовательности функций (9) во всякой замкнутой области, целиком внутренней к G ¹); 2) выпуск двух различных постоянных значений всеми функциями последовательноегн (9) в области G); 3) возможность взаимно однозначного обращения каждой функции последовательности (9)³) и др.

С другой стороны, заметим, что условие равномерной сходимости ряда (1) является лишь достаточным для того, чтобы сумма ряда была функцией аналитической; это условие далеко не есть необходимое, г. е. функция, аналитическая в области G, может быть изображена в виде суммы ряда функций, аналитических в G, сходящегося в этой области, но сходящегося не всюду равномерно. Естественно определить понятие сходимости ряда (1) «в осоГх>м смысле», так, чтобы эго понятие было необходимым и достаточным условием для аналитичности в области G суммы ряда (1). Эта задача отчасти разрешена за последнее время. В связи с этим весьма ценной является пробл: ма об изыскании структурных свойств функции f (z), являющейся суммой произвольного сходящегося ряда (1) аналитических функций. Эта весьма трудная проблема в полном виде ещб не разрешена до настоящего времени.