Сравнительная вероятность. 
Квантовая физика и неколмогоровские теории вероятностей

Все вероятностные модели, обсуждённые в предыдущих разделах, называются количественными вероятностными моделями. Краткое количественное утверждение «Р (Л) = р» читается «вероятность события А равна р» является основой таких теорий^[1]. С другой стороны, модальное или классификационное утверждение «Л вероятно» кажется наиболее общим в обыкновенной речи. Чтобы формализовать такой подход, мы можем рассмотреть, например, бинарное отношение Р₂ на множестве D х ?), где D — пространство событий. Это отношение может читаться следующим образом. Если (Л, В) € Р₂, тогда А не менее вероятно, чем В, А > В. Такая формализация приводит к так называемой теории сравнительной вероятности (см., к примеру, Т. Файна [39]).

Сравнительная вероятность порождает более широкий класс вероятностных моделей (с большим числом областей применения), чем количественная вероятность.

Например, наблюдавшееся из десяти подбрасываний незнакомой монеты выпадение семи гербов, лучше обоснуется утверждением: «выпадение герба более вероятно чем решки», чем утверждением: «вероятность выпадения герба равна 0.7». Существует относительно простые математические модели, в которых мы рассмотрим веские утверждения сравнительной вероятности о том, что они несовместимы с любым представлением в количественной теории^[2].

Однако, моё мнение состоит в том, что сравнительные вероятностные модели должны рассматриваться как «производные» трёх фундаментальных моделей (классической, частотной и ансамбль-модели). Чтобы определить бинарное отношение Р₂, нам понадобиться одна из фундаментальных моделей (или их обобщений).

Обычно предполагается, что бинарное отношение Р₂ удовлетворяет следующим аксиомам (см. Т. Файн [39), с. 17):

СО. (Нетривиальность) Q >- 0, где 0 нулевое или пустое множество.

С1. (Сравнимость) Л? В или В? А.

С2. (Транзитивность) А'?В, В>^С=>А'?_/С.

С4. (Дизъюнктные объединения) Лп (/?иС) = 0=> (В >3 С Ли В? Л U С).

Аксиомы С1 и С2 устанавливают тот факт, что отношение? является линейным полным порядком. Требование того, чтобы все события были сравнимы не является бессодержательным, хотя и отрицается некоторыми авторами [39]. Для того, чтобы проиллюстрировать самую последнюю аксиому, рассмотрим следующий пример. Имеется ансамбль S, S = А^г, — монет с различными центрами масс. Первый эксперимент с подбрасыванием (для всех монет s 6 S) дал Дз появление герба, а второй эксперимент дал N₂ появления герба. Если N > Mj = N — N, но N₂ < М₂ = N — N2, тогда мы не можем утверждать ни того, что «выпадение гербов менее вероятно чем выпадение решек"(А? В) ни, что «ыпадение решек менее вероятно чем выпадение гербов».

В главе 4 мы построим количественную вероятностную модель (с полем р-адических чисел в качестве количественного пространства), из которой будет следовать сравнительная вероятностная модель, где существуют несравнимые события. В этой модели аксиома (С4) также нарушается.

Замечание 13.1. (Субъективная вероятность как сравнительная вероятность). Оказывается, что сравнительная интерпретация является одной из возможных интерпретаций субъективной вероятности. Заметим, что выглядит неразумным использование фиксированного упорядоченного множества (отрезка [0,1]) для количественного представления субъективных вероятностей. Использование отрезка [0,1] является корнем непониманий относимых к субъективной вероятности. Из этого следует, что числа р € [0,1] часто интерпретируются как частота ансамбльвероятностей.

• [1] Возникает естественный вопрос: Почему мы рассматриваем только действительные числа р в качестве значений вероятности ?
• [2] По крайней мере если R используется как «количественное пространство».