Геометрические приложения определенного интеграла

С помощью геометрических приложений вычисляются: площадь плоской фигуры, площадь криволинейного сектора, объем тела вращения, длина дуги кривой, площадь поверхности вращения.

Вычисление площади плоской фигуры

1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью, отрезками прямых и графиком функции , может быть вычислена по формуле (рисунок 3).

2. Если на отрезке — непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми, графиками функций, вычисляется по формуле (рисунок 3).

Рисунок 3.

3. Если функция на отрезке принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью, равна (рисунок 4).

Рисунок 4.

Пример 1: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и.

Рисунок 5.

Решение:

— парабола, вершина .

;

— вершина.

Найдём пределы интегрирования.

4. При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями.

в формуле надо сделать замену переменной, положив, тогда получим.

где и? значения параметра, соответствующие значениям и, т. е. .

Рисунок 6.

Пример 2: Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды.

и осью .

Замечание. Циклоида? плоская кривая, которую описывает точка окружности радиуса, катящаяся без скольжения по прямой линии (рисунок 6).

Решение. Искомая площадь.