Обобщенный метод наименьших квадратов

При моделировании многих реальных экономических процессов и объектов могут возникнуть ситуации, в которых нарушаются предположения о гомоскедастичности и независимости случайных ошибок. В частности, условие гомоскедастичности может нарушаться при анализе неоднородных объектов, а взаимозависимость случайных ошибок может наблюдаться при анализе данных, регистрируемых в последовательные моменты времени. Применение обычного метода наименьших квадратов в этих случаях приведет к тому, что полученные оценки параметров не будут оптимальными в смысле теоремы Гаусса — Маркова. Для анализа таких ситуаций используют обобщенную модель множественной регрессии, которая записывается в виде.

Относительно случайной ошибки предполагается, что Е[Е] = 0; D[Е] = o²Z₀, где а² — неизвестная константа (которая в данной модели не может быть проинтерпретирована как дисперсия ошибок), а!₀ — известная положительно определенная матрица. В общем случае определить вид матрицы Х₀ весьма затруднительно. Поэтому на практике делают некоторые предположения о ее структуре.

Если нарушается только условие гомоскедастичности, то матрица 1₀ диагоиальна:

где константы Х_} в общем случае неизвестны, но могут быть оценены статистическими методами [2, 19].

Если нарушается только условие некоррелированности случайных ошибок, то матрица Х₀ не является диагональной, но элементы, расположенные на ее главной диагонали, равны единице. В ряде случаев такую матрицу можно оценить, введя некоторые дополнительные предположения [2, 19].

Оценивание параметров модели (4.53) проводится с помощью обобщенного метода наименьших квадратов [2, 19, 68] следующим образом:

Оценки (4.54) являются оптимальными оценками параметров модели (4.53) в смысле теоремы Айткена 119 ] (аналога теоремы Гаусса — Маркова для обобщенного МНК).

Оценка.

является несмещенной оценкой неизвестного параметра а² модели (4.53).

Как и в случае классической модели множественной регрессии (4.1), для обобщенной модели (4.53) также может быть вычислен коэффициент детерминации.

Однако использование его в качестве меры точности регрессионной модели затруднено, так как известные свойства обычного коэффициента детерминации для величины (4.55) могут не выполняться. В общем случае эта величина может даже выходить за границы отрезка [0, 1], а добавление (удаление) регрессора в модели не всегда приводит к ее увеличению (уменьшению).